Linær kombinasjon av polynomer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Linær kombinasjon av polynomer

Innlegg frederni » 06/02-2019 18:43

Hei, jeg tar for øyeblikket lineær algebra/ matematikk 3 (TMA4115) på NTNU, og sliter litt med en oppgave, som er følgende:

[tex]p=x^2+5x-3 \\ q(x)=4x^2+18x+4[/tex]
a) La [tex]s[/tex] være polynomet [tex]s(x)=x^2+8x+2[/tex]. Finnes det konstanter [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at
[tex]s(x)=a\cdot p(x)+b\cdot q(x)[/tex] for alle x?

Jeg tror jeg skal prøve å bevise at [tex]s(x)\in Sp\left\{p(x), q(x)\right\}[/tex], men litt usikker på hvor jeg skal begynne. Noen forslag?
frederni offline

Re: Linær kombinasjon av polynomer

Innlegg Markus » 06/02-2019 19:18

Svaret er ja hvis alle polynomene er lineært avhengige (og nei hvis de er lineært uavhengige). Du kan tenke på polynomene som vektorer hvor den første komponenten er koeffisienten foran $x^0$, den andre komponenten er koeffisienten foran $x^1$ og den siste komponenten er koeffisienten foran $x^2$. For å sjekke om polynomene er lineært uavhengige må vi da studere likningen $a_1p(x)+a_2q(x)+a_3s(x)=0$. Da får vi at $$\begin{alignat*}{2}
a_1\begin{pmatrix}1 \\5 \\ -3 \end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix}4 \\18 \\ 4 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix}1 \\8 \\ 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\ 5 & 18 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{alignat*}$$ Siden $\det \begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\ 5 & 18 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}= 22 \neq 0$ har det homogene likningssystemet bare den trivielle løsningen, og polynomene er derfor lineært uavhengige. Eventuelt kan du gjøre Gauss-Jordan-eliminasjon og se at du får identitetsmatrisen så $a_1=a_2=a_3=0$.

Forsto du fremgangsmåten?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 18 gjester