Linær kombinasjon av polynomer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
frederni

Hei, jeg tar for øyeblikket lineær algebra/ matematikk 3 (TMA4115) på NTNU, og sliter litt med en oppgave, som er følgende:

[tex]p=x^2+5x-3 \\ q(x)=4x^2+18x+4[/tex]
a) La [tex]s[/tex] være polynomet [tex]s(x)=x^2+8x+2[/tex]. Finnes det konstanter [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at
[tex]s(x)=a\cdot p(x)+b\cdot q(x)[/tex] for alle x?

Jeg tror jeg skal prøve å bevise at [tex]s(x)\in Sp\left\{p(x), q(x)\right\}[/tex], men litt usikker på hvor jeg skal begynne. Noen forslag?
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Svaret er ja hvis alle polynomene er lineært avhengige (og nei hvis de er lineært uavhengige). Du kan tenke på polynomene som vektorer hvor den første komponenten er koeffisienten foran $x^0$, den andre komponenten er koeffisienten foran $x^1$ og den siste komponenten er koeffisienten foran $x^2$. For å sjekke om polynomene er lineært uavhengige må vi da studere likningen $a_1p(x)+a_2q(x)+a_3s(x)=0$. Da får vi at $$\begin{alignat*}{2}
a_1\begin{pmatrix}1 \\5 \\ -3 \end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix}4 \\18 \\ 4 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix}1 \\8 \\ 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\ 5 & 18 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{alignat*}$$ Siden $\det \begin{pmatrix}1 & 4 & 1 \\ 5 & 18 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}= 22 \neq 0$ har det homogene likningssystemet bare den trivielle løsningen, og polynomene er derfor lineært uavhengige. Eventuelt kan du gjøre Gauss-Jordan-eliminasjon og se at du får identitetsmatrisen så $a_1=a_2=a_3=0$.

Forsto du fremgangsmåten?
Svar