undersøke om maks/min finnes, funksjon m brøk [matte2]

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

undersøke om maks/min finnes, funksjon m brøk [matte2]

Innlegg Velleman » 19/02-2019 17:13

Hei!
Sitter litt fast på en oppgave. Oppgaven lyder: "Har funksjonen [tex]f(x,y)=\frac{1-2xy}{x^2+y^2}[/tex] for [tex](x,y)\neq (0,0)[/tex],
noen største eller minste verdi? Begrunn svaret."

Dette er det jeg har gjort/tenkt: https://imgur.com/a/9YFwF1v

Jeg må jo ikke nødvendigvis finne et punkt hvor funksjonen har sitt max/min, kun vise at det eventuelt eksisterer. Og det er jo relativt greit... Eventuelle ekstremalpunkter inntreffer i punktet(/punktene) (a,b) når [tex]\triangledown f(a,b) = 0[/tex].

Det jeg står fast på her er å løse ligningssettene som da oppstår.. Kanskje det ikke er meningen å løse de?
Eller burde jeg eventuelt prøve å vise at det finnes en største/minste verdi ved å bruke andrederivert-testen? Da kan man jo sette opp et ganske generelt svar, bare ser for meg at det blir så stygt å sette opp...
For da vil vi i hvert fall ha (relativt) max når D(x,y) > 0 og fxx < 0, og (relativt) minimum når D(x,y) > 0 og fxx > 0.

Tips til eventuelle fremgangsmåter eller generelt gode råd tas i mot med takk!
Velleman offline

Re: undersøke om maks/min finnes, funksjon m brøk [matte2]

Innlegg Gjest » 19/02-2019 17:39

Okei, så jeg har funnet ut litt mer. Men litt usikker på hvor riktig der er.

f(x,y) har ikke noe maksimum, for ettersom x og y nærmer seg null, går funksjonen mot positivt uendelig.

Funksjonen er symmetrisk med x og y (? noen som ønsker å forklare dette litt videre... selv om ser jo at de begge har samme "rolle"). Så kan muligens finne et minimum ved å gjøre y til en konstant..

typ definere g(x) = f(x,k), hvor k er et vilkårlig tall.. så løse g'(x) = 0. Får da at [tex]x = \frac{1\pm \sqrt{1+4k^4}}{2k}[/tex]. Men hvordan finner jeg da y for dette punktet? Ved samme prosess?
Gjest offline

Re: undersøke om maks/min finnes, funksjon m brøk [matte2]

Innlegg Solar Plexsus » 24/02-2019 18:26

Legg merke til at

$(1) \;\; f(x,x) = \frac{1 - 2x ^2}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} - 1$.

Vi ser at $f(x,x) \rightarrow \infty$ når $x \rightarrow 0$. Følgelig har ikke $f$ noen største verdi.
Videre følger det av (1) at $f(x,x) > -1$ og at $f(x,x) \rightarrow -1$ når $x \rightarrow \infty$.

Likningen ${\textstyle f(x,y) = \frac{1}{k}}$, der $k \neq 0$ er en konstant, er ekvivalent med

$(2) \;\; y^2 + 2kxy + x^2 - k = 0$.

Løsningene av likning (2) er

$y = -kx \pm \sqrt{(k^2 - 1)x^2 + k}$.

Hvis $-1 \leq k < 0$, er $k^2 - 1 \leq 0$, som gir

$(k^2 - 1)x^2 + k \leq k < 0$.

Følgelig har likningen ${\textstyle f(x,y) = \frac{1}{k}}$ ingen reell løsning når $k \in [-1,0)$, dvs. når ${\textstyle \frac{1}{k} \leq -1}$. M.a.o. er $f(x,y) > -1$ for alle reelle verdier av $x$ og $y$ utenom $x=y=0$. Dette kombinert med det faktum at $f(x,x) \rightarrow -1$ når $x \rightarrow \infty$ impliserer at $f$ ikke har noen minste verdi.

Konklusjon: Funksjonen $f$ har verken en maksimal- eller minimalverdi.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 12 gjester

cron