Faktorgruppeisomorfi

[Markus]

Det med faktorgrupper faller ikke så veldig lett for meg med det første. Kunne gjerne tenkt litt tilbakemelding på følgende. Legger ved hva jeg tenker.

Oppgaven er todelt:
a) Finn alle abelske grupper av orden $8$ (opp til isomorfi).
b) Bestem hvilken av gruppene i a) faktorgruppen $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 / \langle (1,2) \rangle$ er isomorf med.

Hva jeg tenker:
a) Denne tror jeg er helt grei. Her bruker jeg bare fundamentalteoremet for endeliggenererte abelske grupper og får $\mathbb{Z}_8$, $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ og $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.

b) Tanken min her er at en isomorfi mellom to grupper må ta en generator til en generator. Dette er litt motivert av at hverken $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ eller $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ er sykliske, men $\mathbb{Z}_8$ er det. Vi har at $\langle (1,2) \rangle = \{(1,2),(2,4),(3,6),(0,0)\}$. Siden $|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 / \langle (1,2) \rangle|=32/4=8$, så må $|(1,1)+\langle(1,2) \rangle | = 1,2,4,8$ av Lagranges teorem. Tanken er vel at vi ønsker minste $n$ slik at $n\left[(1,1) + \langle (1,2) \rangle \right]$ blir identiteten, dvs. $(0,0)+\langle (1,2) \rangle = \langle(1,2) \rangle$ (dette er vel forsåvidt definisjonen til ordenen på et element uansett?). Nå er $$\begin{alignat*}{2}1\left[(1,1) + \langle (1,2) \rangle \right] &= (1,1)+\langle ( 1,2) \rangle = \{(2,3),(3,5),(4,7),(1,0)\} \neq \langle (1,2) \rangle \\
2\left[(1,1)+\langle (1,2) \rangle \right] &= (2,2) + \langle (1,2) \rangle = \{(3,4),(4,6),(5,0),(2,2)\} \neq \langle (1,2) \rangle \\
4\left[(1,1)+\langle (1,2) \rangle \right] &= (4,4) + \langle (1,2) \rangle = \{(1,6),(2,0),(1,2),(4,4)\} \neq \langle (1,2) \rangle \\
8\left[ (1,1) + \langle (1,2) \rangle \right] &= (8,8) + \langle (1,2) \rangle = (0,0) + \langle (1,2) \rangle = \langle (1,2) \rangle
\end{alignat*}$$
Jeg hadde vel for så vidt ikke trengt å regne ut den siste da vi allerede har utelukket $1,2,4$. Uansett, siden ordenen til $(1,1)+\langle(1,2) \rangle = 8$ så er $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 / \langle (1,2) \rangle$ syklisk og dermed er eneste mulighet for isomorfien $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_8 / \langle (1,2) \rangle \simeq \mathbb{Z}_8$

Spørsmålet mitt nå er: er det jeg har gjort rett, og hvordan kunne jeg gjort det enklere?

[Gustav]

Alternativt, definér $\phi:Z_4\times Z_8 \to Z_8$ ved $\phi(x,y)=2x+3y\pmod 8$, så $ker(\phi)=<1,2>$ og $Im(\phi)=Z_8$ og det følger av det første isomorfiteoremet at $Z_4\times Z_8/ <(1,2)>=Z_4\times Z_8/ker(\phi)\simeq Im(\phi)=Z_8$.

[Markus]

Alternativt, definér $\phi:Z_4\times Z_8 \to Z_8$ ved $\phi(x,y)=2x+3y\pmod 8$, så $ker(\phi)=<1,2>$ og $Im(\phi)=Z_8$ og det følger av det første isomorfiteoremet at $Z_4\times Z_8/ <(1,2)>=Z_4\times Z_8/ker(\phi)\simeq Im(\phi)=Z_8$.

Fin den der! Riktignok ønsker jeg en litt mer manuell løsning, der jeg riktignok ser litt mer hva som skjer - blir det over rett? Forresten, hvordan tenkte du deg fram til homomorfien? Den funker jo supert, men jeg ser ikke umiddelbart hvordan man kommer seg fram til den annet enn trial-and-error? Mulig at det har noe med kinesisk restteorem å gjøre kanskje?

[DennisChristensen]

Alternativt, definér $\phi:Z_4\times Z_8 \to Z_8$ ved $\phi(x,y)=2x+3y\pmod 8$, så $ker(\phi)=<1,2>$ og $Im(\phi)=Z_8$ og det følger av det første isomorfiteoremet at $Z_4\times Z_8/ <(1,2)>=Z_4\times Z_8/ker(\phi)\simeq Im(\phi)=Z_8$.

Fin den der! Riktignok ønsker jeg en litt mer manuell løsning, der jeg riktignok ser litt mer hva som skjer - blir det over rett? Forresten, hvordan tenkte du deg fram til homomorfien? Den funker jo supert, men jeg ser ikke umiddelbart hvordan man kommer seg fram til den annet enn trial-and-error? Mulig at det har noe med kinesisk restteorem å gjøre kanskje?

Du har vist at $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8 / \langle(1,2)\rangle$ inneholder et element av orden $8$. Dette beviser direkte at $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8 / \langle(1,2)\rangle \cong \mathbb{Z}_8$, så løsningen er korrekt. Et problem med metoden er at dersom det skulle vist seg at et annet svar var det riktige, så ville vi ikke så lett løsnet opp i gruppestrukturen, og det ville tatt oss lang tid å finne svaret. Det er lurere å gjøre slik Gustav har gjort. Intuisjonen bak metoden er rimelig enkel, men krever kanskje litt trening å bli vant til: Prøv å finne en surjektiv homomorfi $\phi$ fra $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_8$ til én av kandidatene, med $\ker\phi = \langle(1,2)\rangle$, så gjør det første isomorfiteoremet resten av jobben for oss.