Kontinuitet av funksjoner i Q

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg GDFH » 10/04-2019 11:09

Funksjonen f(x)=1/(x^2-2) er ikke kontinuerlig i R, men i Q (f: Q --> Q) er den (visstnok) kontinuerlig. Et enkelt bevis på dette? For meg ser det ut som om f går mot minus uendelig når x går mot roten av to nedenfra, og at f går mot pluss uendelig når x går mot roten av 2 ovenfra. Selv om roten av 2 ikke er element i Q, hopper jo da grafen fra minus uendelig til pluss uendelig på hver side av roten av 2, hvordan er det forenelig med kravet lim f når x--> a- = lim f når x -->a+ = f(a)?
GDFH offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 10/04-2019 10:59

Re: Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg DennisChristensen » 10/04-2019 13:00

GDFH skrev:Funksjonen f(x)=1/(x^2-2) er ikke kontinuerlig i R, men i Q (f: Q --> Q) er den (visstnok) kontinuerlig. Et enkelt bevis på dette? For meg ser det ut som om f går mot minus uendelig når x går mot roten av to nedenfra, og at f går mot pluss uendelig når x går mot roten av 2 ovenfra. Selv om roten av 2 ikke er element i Q, hopper jo da grafen fra minus uendelig til pluss uendelig på hver side av roten av 2, hvordan er det forenelig med kravet lim f når x--> a- = lim f når x -->a+ = f(a)?


Hele poenget er at $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$, så vi trenger kun å sjekke at $\lim_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$ for alle $a\in\mathbb{Q}$ for å verifisere at $f: \mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ er kontinuerlig.

Kanskje det hjelper å tenke over følgende eksempel: funksjonen $g(x) = \frac1{x^2+1}$ er kontinuerlig over $\mathbb{R}$, men ikke på $\mathbb{C}$. Grunnen til at vi ikke får noen problemer over $\mathbb{R}$ er igjen fordi en grenseverdi som $\lim_{x\rightarrow i}g(x)$ ikke gir mening over $\mathbb{R}$, på samme måte som grenseverdien $\lim_{x\rightarrow\sqrt{2}}f(x)$ ikke gir mening over $\mathbb{Q}$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg GDFH » 10/04-2019 13:41

Skjønner, men jeg trodde de to grensene måtte være like, her har vi jo at f går mot hhv. uendelig og minus uendelig når x nærmer seg "roten av 2" (som riktignok ikke finnes i Q) hhv. ovenfra og nedenfra... (Eller må ikke de to grensene være like, så lenge x aldri kan være roten av 2?)
GDFH offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 10/04-2019 10:59

Re: Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg GDFH » 10/04-2019 13:57

Eller for å snu litt på spørsmålet: Hva er det generelle beviset for at en funksjon f: Q --> Q er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde, f.eks. f(x)= (x^3)-(6x)?
GDFH offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 10/04-2019 10:59

Re: Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg DennisChristensen » 10/04-2019 16:04

Definisjon. en funksjon $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ er kontinuerlig dersom grenseverdien $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)$ for alle $a\in\mathbb{Q}$.

Vi ønsker å vise at dette gjelder for funksjonen $f$, gitt ved $f(x) = \frac1{x^2-2}$. La $a\in\mathbb{Q}$ og $\varepsilon > 0$ være gitt. Vi ønsker å vise at det finnes $\delta>0$ slik at dersom $|x-a|<\delta$, så er $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$. Nøkkelen ligger nå i at $a^2 - 2 \neq 0$, ettersom $a\in\mathbb{Q}$. Nå,
$$|\frac1{x^2 - 2} - \frac1{a^2 - 2}| = |\frac{a^2 - 2 - (x^2 - 2)}{(x^2 - 2)(a^2 - 2)}| =\frac{|x-a||x+a|}{|x^2 - 2||a^2-2|},$$
så vi ønsker en øvre grense for $|x+a|$ og en nedre grense for $|x^2-2|$ for å fullføre $\varepsilon$-$\delta$-beviset. Først ser vi at $$|x - a| < \delta \implies -\delta < x - a < \delta \implies -\delta + 2a < x + a < \delta + 2a \implies -\delta - 2|a| < x + a < \delta + 2|a| \implies |x+a| < \delta + 2|a|.$$
For å finne en nedre grense for $|x^2 - 2|$ ser vi at $$|a^2 - 2| = |a^2 - x^2 + x^2 - 2| \leq |a^2 - x^2| + |x^2 - 2| = |x-a||x+a| + |x^2 - 2| < \delta(\delta + 2|a|) + |x^2 - 2|,$$ så $|x^2 - 2| > |a^2 - 2| - \delta(\delta + 2|a|)$. Dermed ser vi at dersom vi velger $\delta < \min\{1, \frac12\frac{|a^2 - 2|}{1 + 2|a|}\}$, får vi at $|x^2 - 2| > |a^2 - 2| - \delta(\delta + 2|a|) > |a^2 - 2| - \frac12\frac{|a^2 - 2|}{1 + 2|a|}(1 + 2|a|) = \frac12|a^2 - 2|.$ Dermed får vi at
$$|f(x) - f(a)| = |\frac1{x^2 - 2} - \frac1{a^2 - 2}| =\frac{|x-a||x+a|}{|x^2 - 2||a^2-2|} < \frac{2\delta(\delta + 2|a|)}{|a^2 - 2|^2} < \frac{2(1 + 2|a|)}{|a^2 - 2|^2}\delta < \varepsilon,$$
dersom vi velger $\delta < \min\{1, \frac12\frac{|a^2 - 2|}{1 + 2|a|}, \frac{|a^2 - 2|^2}{2(1 + 2|a|)}\varepsilon\}.$
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Kontinuitet av funksjoner i Q

Innlegg GDFH » 11/04-2019 07:08

Ypperlig, takk!
GDFH offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 10/04-2019 10:59

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 12 gjester