Ortogonal complement

[Jerry]

Find a basis for the orthogonal complement of the subspace of R[sup]n[/sup] spanned by the vectors v[sub]1[/sub]=(1,-1,3), v[sub]2[/sub]=(5,-4-4) og v[sub]3[/sub]=(7,-6,2).

Jeg satte det opp som en matrise, "gausset" og fant ut at v[sub]1[/sub] og v[sub]2[/sub] danner en basis for R[sup]n[/sup]. Hva gjør jeg så?

[Magnus]

Egentlig ganske off-topic, men Jerry, hva studerer du egentlig?

[Solar Plexsus]

La V være det todimensjonale underrommet utspent av v[sub]1[/sub] og v[sub]2[/sub]. Det ortogonale komplementet W til V vil dermed være et endimensjonalt underrom og basisen består av en vektor w som er slik at v[sub]1[/sub]w=0, v[sub]2[/sub]w=0. M.a.o. ligger w i nullrommet til matrisa med v[sub]1[/sub] og v[sub]2[/sub] som radvektorer. Altså er {(16,19,1)} en basis for W.

[Jerry]

Ehm, realfag, hvordan det?
Takk igjen Solar Plexsus.

[Jerry]

Jeg driver igjen med en liknende oppgave, men nå er v[sub]1[/sub] = (1,4,5,6,9), v[sub]2[/sub] = (3,-2,1,4,-1), v[sub]3[/sub] = (-1,0,-1,-2,-1) og v[sub]4[/sub] = (2,3,5,7,8).

Ender da etterhvert opp med:
x1 + x3 +2*x4 + x5 = 0 og
x2 + x3 +x4 + 2*x5 = 0

Hva gjør jeg da?

[Solar Plexsus]

Trekker du første likningen fra den andre, får du

x[sub]1[/sub] + x[sub]3[/sub] +2x[sub]4[/sub] + x[sub]5[/sub] = 0,
x[sub]2[/sub] - x[sub]4[/sub] + x[sub]5[/sub] = 0.

Altså blir

(x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub], x[sub]5[/sub]) = (-s - 2t - u, t - u, s, t, u) = (-1,0,1,0,0)s + (-2,1,0,1,0)t + (-1,-1,0,0,1)u.