parametrisering av skjæringskurven mellom to flater [matte2]

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

parametrisering av skjæringskurven mellom to flater [matte2]

Innlegg sGreenfield » 19/04-2019 15:21

Hei! Driver med litt gamle eksamensoppgaver, og lurer litt på en ting i denne oppgaven (oppgave 1 her: https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... ksamen.pdf):
"Finn en parametrisering av skjæringskurven mellom flatene
(1) [tex]z=3\sqrt{(x^2+y^2)}[/tex] og (2) [tex]x^2+(y-1)^2=1[/tex]
Husk å angi intervallet for parameteren."

Først omgjorde jeg bare til polarkoordinater, slik at
(2) [tex]r=2sin\theta[/tex] og (1) [tex]z=3r[/tex]
Siden jeg skal ha parametriseringen av skjæringskurven, så skjønner jeg at jeg må sette disse sammen på et vis... Og da passer det jo bra å sette inn 2 i 1, som gir [tex]z=6sin\theta[/tex].

Så.... Kan man da tenke at man har brukt polarkoordinater, så vi får automatisk [tex]x = r cos \theta[/tex] og [tex]y=rsin\theta[/tex], hvor r her kommer frem fra (2)? Så vi får da parametriseringen
[tex]r(\theta )=(rcos\theta ,rsin\theta,6sin\theta)=(2sin\theta cos\theta,2sin^2\theta, 6sin\theta) =(*) (sin(2\theta), 2sin^2(\theta),6sin(\theta))[/tex]

MEN. Man skal også angi intervallet for parameteren. Hvordan finner jeg dette? Vanligvis går jo theta fra 0 til 2pi. Ser at hvis jeg plotter funksjonene i en graftegner går "kyrsningen" av de to figurene i 2 kvadranter, så da er det jo mer naturlig at den går fra 0 til theta (som det står i fasiten..). Men hvordan kan jeg gå frem for å finne ut intervallet?


(Takk på forhånd for svar. Enten om det er tips, løsning, eller alternative løsningsmetoder. tar også gjerne i mot tips til hvor man kan lese mer om dette/eventuelt finne flere lignende oppgaver. fikk ikke med læreboka fra trondheim...)
sGreenfield offline

Re: parametrisering av skjæringskurven mellom to flater [mat

Innlegg jakvah » 19/04-2019 23:04

Det finnes mange måter å løse en oppgave som inneholder parametrisering på, ettersom det finnes utallige parametriseringer for enhver linje.

Du lurer på hvorfor $\theta$ går fra 0 til $\pi$. Når du finner utrykket for r, nemlig $r = 2sin\theta$, tar du utgangspunkt i sirkelen $x^2 + (y-1)^2 = 1$. Dersom du tenger denne sirkelen vil du se at den ligger i øvre halvplan, med sentrum i $(0,1)$. Når du gjør om fra kartesiske til polare koordinater, så er $r$ avstanden fra origo til et vilkårlig punkt på kurven din og $\theta$ vinkelen mellom $r$ linjen y = 0 (Som du sikkert vet. Innser at det var både en dårlig og unødvendig forklaring av polarkoordinater). Ettersom sirkelen du finner en parameterisering for ligger i øvre halvplan, så går vinkelen kun fra 0 til $\pi$, og følgelig er $\theta$ i parameteriseringen også fra $0$ til $\pi$.

Du kan også se dette rett fra utrykket ditt for $r$, $r = 2\sin(\theta)$. Vi vet at r alltid må være positiv, og følgelig kan ikke sinusleddet ta noen negative verdier. Derfor må $0 \leq \theta \leq \pi$.

Du spør også etter alternative måter å løse oppgaven på, så jeg tillater meg å komme med det. Denne metoden er noe mer generell.

Finner først en parametrisering av utrykket uten $z$. Da blir

$x(t) = \cos (t)$
$y(t) = 1 + \sin(t)$
$0 \leq t \leq 2\pi$

Hvorfor er $t$ fra 0 til $2\pi$ her? Jo, jeg bruker ikke polarkoordinater, men "vanlige" kartesiske koordinater.

Setter dette inn i utrykket for z og får

$z(t) = 3 \sqrt{\cos^2(t) + (1 - \sin(t))^2}$
$z(t) = 3 \sqrt{\cos^2(t) + (1 - 2\sin(t) + \sin^2(t)}$
$z(t) = 3 \sqrt{1-\sin(t)}$

Da har jeg tilslutt at $r(t) = (x(t),y(t),z(t))$, som er en helt annen, men også korrekt paramterisering av skjæringskurven.
jakvah offline
Noether
Noether
Innlegg: 38
Registrert: 09/11-2017 16:14

Re: parametrisering av skjæringskurven mellom to flater [mat

Innlegg jos » 20/04-2019 14:43

For z(t): Skal ikke uttrykket under kvadratrottegnet være 2-2sin(t)?
jos offline

Re: parametrisering av skjæringskurven mellom to flater [mat

Innlegg jakvah » 20/04-2019 15:20

jos skrev:For z(t): Skal ikke uttrykket under kvadratrottegnet være 2-2sin(t)?


Jo det skal det selvsagt! Her har det gått litt fort i svingene!
jakvah offline
Noether
Noether
Innlegg: 38
Registrert: 09/11-2017 16:14

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 67 gjester