matematikk.net

Denne oppgaven føles veldig opplagt ut, noe som ofte fører til at jeg begrunner for dårlig.
Så jeg lurer på hvordan dere ville ha begrunnet/ført oppgave a og b.

Mine tanker:
Siden [tex]u(x)[/tex] er kontinuerlig kan bare [tex]u(x)[/tex] divergere når [tex]x\rightarrow\pm\infty[/tex].
Men siden [tex]\lim_{x\to\infty}u(x)=b[/tex], [tex]\lim_{x\to-\infty}u(x)=a[/tex] er ikke dette tilfellet, og [tex]u(x)[/tex] må være bundet [tex]\mid{u(x)}\mid\leq{M}=\sup_{x\in\mathbf{R}}\mid{u(x)}\mid[/tex]

Stringselings skrev:

1.png

Denne oppgaven føles veldig opplagt ut, noe som ofte fører til at jeg begrunner for dårlig.
Så jeg lurer på hvordan dere ville ha begrunnet/ført oppgave a og b.

Mine tanker:
Siden [tex]u(x)[/tex] er kontinuerlig kan bare [tex]u(x)[/tex] divergere når [tex]x\rightarrow\pm\infty[/tex].
Men siden [tex]\lim_{x\to\infty}u(x)=b[/tex], [tex]\lim_{x\to-\infty}u(x)=a[/tex] er ikke dette tilfellet, og [tex]u(x)[/tex] må være bundet [tex]\mid{u(x)}\mid\leq{M}=\sup_{x\in\mathbf{R}}\mid{u(x)}\mid[/tex]

Du er inne på riktige tanker, men vi er nødt til å bruke definisjonene ordentlig for å formulere et skikkelig bevis.
(a) Vi vet at $\lim_{x\rightarrow+\infty}u(x) = a\in\mathbb{R}$, så $\forall\varepsilon > 0 \exists K \geq 0$ slik at $x > K \implies |u(x) - a| < \varepsilon$. Især vet vi da at det finnes $C\geq 0$ slik at $x\geq C \implies |u(x) - a| < 1 \implies |u(x)| < |a| + 1$. Dermed kan vi la $B = |a| + 1$ for å bevise (a).

Klarer du (b) nå?

yeh, takk