Buelengde, endring av grensene til integralet?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Rive rolf » 02/05-2019 10:30

buelengde.docx
oppgaven.
(75.61 KiB) 11 ganger
Finn buelengden til grafen til funksjonen f(x)=2x2/3 fra x=0 til x=1.

har lagt med oppgaven som et vedlegg, det jeg lurer på er om noen kan forklare meg hvordan de får grensen til integralet å endre seg fra 0-1 til 16-21 ?
Rive rolf offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 02/05-2019 10:09

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Gjest » 02/05-2019 10:38

min gjetning er at grensene endrer seg ved at de bruker substitusjonen, det stemmer mat at man setter inn x=0 og x = 1 i u. skal prøve meg på oppgaven og så komme tilbake.
Gjest offline

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Rive rolf » 02/05-2019 10:44

Gjest skrev:min gjetning er at grensene endrer seg ved at de bruker substitusjonen, det stemmer mat at man setter inn x=0 og x = 1 i u. skal prøve meg på oppgaven og så komme tilbake.

Flott, takk !
Rive rolf offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 02/05-2019 10:09

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Gjest » 02/05-2019 10:51

Bilde
Bilde

Kan også løse uten å endre grensene, men da må du huske å sette tilbake u-substitusjonen etter du har integrert.
Gjest offline

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Rive rolf » 02/05-2019 11:27

takk for svar, hvor får du forresten konstanten 1/3 som du trekker ut av integralet? før du substutierer
men er fortsatt litt usikker på hvor de får de nye grenseverdiene fra, om man vil gjøre det på den måten?
Rive rolf offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 02/05-2019 10:09

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Rive rolf » 02/05-2019 11:34

fant ut av konstanten :) er rett og slett bare de nye grensene til integralet jeg ikke helt ser hvor de får verdiene fra
Rive rolf offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 02/05-2019 10:09



Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Gjest » 02/05-2019 11:56

Bare å si i fra hvis det var noe som ikke var klart :D Litt nøyere forklart; du bruker altså uttrykket du bruker som u-substitusjon, la oss kalle det u. For å finne ny nedre grense setter du inn den 'gamle' grensa, som gjelder for x (står egentlig x=0), inn i u. Tilsvarende gjør du for den øvre grensa (x=1). Og ta da! Du har fått nye grenser.
Gjest offline

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Gjest » 02/05-2019 12:00

Kanskje denne også er hjelpsom: https://brownmath.com/calc/usubst.htm

(beklager for alle postene på rad)
Gjest offline

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Rive rolf » 02/05-2019 12:02

Flott, tusen takk for bra svar ! :)
Rive rolf offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 02/05-2019 10:09

Re: Buelengde, endring av grensene til integralet?

Innlegg Markus » 02/05-2019 13:57

Det er rett at man skal bytte grenser når man bruker u-substitusjon. Dette kan man selvfølgelig vise gjennom et bevis. Jeg legger ved et så kan dere se på det hvis det er av interesse.

Teorem: La $U \subseteq \mathbb{R}$ være et intervall og $\phi:[a,b] \to U$ en kontinuerlig deriverbar funksjon. Anta at $f: U \to \mathbb{R}$ er en kontinuerlig funksjon. Da er $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$$

Bevis: Siden $f$ er en kontinuerlig og $\phi$ er kontinuerlig derivertbar, og komposisjonen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig er $f(\phi(x))\phi'(x)$ kontinuerlig og dermed integrerbar. La $F$ være $f$ sin antideriverte, ved kjerneregelen har vi da at $(F(\phi(x))'= f(\phi(x))\phi'(x)$. Dermed er $$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x = \int_a^b (F(\phi(x))' \, \text{d}x = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ ved analysens fundamentalteorem. Siden $F$ er $f$ sin antideriverte har vi også at $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (F(u))' \, \text{d}u = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ Dermed ser vi at $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$, som var det vi ville vise.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 733
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester