matematikk.net

Finn buelengden til grafen til funksjonen f(x)=2x2/3 fra x=0 til x=1.

har lagt med oppgaven som et vedlegg, det jeg lurer på er om noen kan forklare meg hvordan de får grensen til integralet å endre seg fra 0-1 til 16-21 ?

min gjetning er at grensene endrer seg ved at de bruker substitusjonen, det stemmer mat at man setter inn x=0 og x = 1 i u. skal prøve meg på oppgaven og så komme tilbake.

Gjest skrev:min gjetning er at grensene endrer seg ved at de bruker substitusjonen, det stemmer mat at man setter inn x=0 og x = 1 i u. skal prøve meg på oppgaven og så komme tilbake.

Flott, takk !

Kan også løse uten å endre grensene, men da må du huske å sette tilbake u-substitusjonen etter du har integrert.

takk for svar, hvor får du forresten konstanten 1/3 som du trekker ut av integralet? før du substutierer
men er fortsatt litt usikker på hvor de får de nye grenseverdiene fra, om man vil gjøre det på den måten?

fant ut av konstanten er rett og slett bare de nye grensene til integralet jeg ikke helt ser hvor de får verdiene fra

Muligens litt dårlig forklart


muligens se:
https://www.youtube.com/watch?v=FJoyIAIC1Ag
https://www.youtube.com/results?search_ ... bstitution

https://www.khanacademy.org/math/ap-cal ... -integrals

https://www.youtube.com/watch?v=3XOzg2-DdTA

https://www.youtube.com/watch?v=Muzl_kuVxZU

Bare å si i fra hvis det var noe som ikke var klart Litt nøyere forklart; du bruker altså uttrykket du bruker som u-substitusjon, la oss kalle det u. For å finne ny nedre grense setter du inn den 'gamle' grensa, som gjelder for x (står egentlig x=0), inn i u. Tilsvarende gjør du for den øvre grensa (x=1). Og ta da! Du har fått nye grenser.

Kanskje denne også er hjelpsom: https://brownmath.com/calc/usubst.htm

(beklager for alle postene på rad)

Flott, tusen takk for bra svar !

Det er rett at man skal bytte grenser når man bruker u-substitusjon. Dette kan man selvfølgelig vise gjennom et bevis. Jeg legger ved et så kan dere se på det hvis det er av interesse.

Teorem: La $U \subseteq \mathbb{R}$ være et intervall og $\phi:[a,b] \to U$ en kontinuerlig deriverbar funksjon. Anta at $f: U \to \mathbb{R}$ er en kontinuerlig funksjon. Da er $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$$

Bevis: Siden $f$ er en kontinuerlig og $\phi$ er kontinuerlig derivertbar, og komposisjonen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig er $f(\phi(x))\phi'(x)$ kontinuerlig og dermed integrerbar. La $F$ være $f$ sin antideriverte, ved kjerneregelen har vi da at $(F(\phi(x))'= f(\phi(x))\phi'(x)$. Dermed er $$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x = \int_a^b (F(\phi(x))' \, \text{d}x = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ ved analysens fundamentalteorem. Siden $F$ er $f$ sin antideriverte har vi også at $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} (F(u))' \, \text{d}u = F(\phi(b))-F(\phi(a))$$ Dermed ser vi at $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \, \text{d}u = \int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) \, \text{d}x$, som var det vi ville vise.