Leibniz integral rule

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Leibniz integral rule

Innlegg stensrud » 04/05-2019 13:01

Jeg har integralet
\[ I= \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-itx}\mathop{dx},\quad t\in \mathbb{R} \]
Det er gitt som en oppgave i kompleks analyse, men jeg mistenker at det kan løses vha. derivering under integraltegnet. Men jeg havner i trøbbel:
\[ \frac{\partial I}{\partial t} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\sin x}{x}e^{-itx}\right)\mathop{dx} = -i\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\sin x\mathop{dx}, \]
som helt klart ikke konvergerer. Så vidt jeg husker så er $I$ for det meste lik $0$, så det hadde gitt mer mening hvis jeg fikk $0$ som svar etter derivering også. Noen som ser hvor jeg gjør feil?
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Leibniz integral rule

Innlegg Nebuchadnezzar » 04/05-2019 13:55

Grunnen til at metoden din ikke fungerer er at vilkårene for å bruke derivasjon under integraltegnet ikke er tilfredstilt, det er dessverre ikke en magisk måte som alltid fungerer... Enkleste kravet er å se om funksjonen din er dominert av en $L_1$ funksjon. Mer konkret

Bilde

her er ikke det mulig. Men integralet er jo ganske greit å bestemme uten kompleks analyse (selv om det og er gøy).

1. Benytt deg av Eulers formel $e^{ix} = \cos x + i \sin x$
2. Integralet over $\sin x$ forsvinner grunnet symmetri.
3. $\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
4. $u = 2x$.
5. Bruk at $\int_{\mathbb{R}} (\sin x)/x \,\mathrm{d}x = \pi/2$.

Mer generelt mener jeg at vi har

$
\hspace{1cm}
\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} e^{-\omega i x} = \frac{\pi}{2} \delta_{1\omega}
$

Der $\delta_{ij}$ er Kronecker delta symbolet definert som $1$ når $i = j$ og $0$ ellers. Skulle du sett dette er jo Fouriertransformasjonen av en enkel sinc funksjon ;)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5504
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Leibniz integral rule

Innlegg stensrud » 04/05-2019 19:21

Takk Nebu! Som du sier så kan vi se bort ifra imaginærdelen og bruke trigonometri:
\begin{align*}
\int_\mathbb{R}\frac{\sin x}{x}e^{-itx}\mathop{dx} &= \int_\mathbb{R}\frac{\sin x\cos(-tx)}{x}\mathop{dx}\\
&= \frac12\int_\mathbb{R}\frac{\sin(x+tx)+\sin(x-tx)}{x}\mathop{dx}\\
&= \frac12\int_\mathbb{R}\frac{\sin(x+tx)}{x}\mathop{dx} +\frac12\int_\mathbb{R}\frac{\sin(x-tx)}{x}\mathop{dx}\\
&= \frac12(\mathop{\mathrm{sgn}}(1+t)+\mathop{\mathrm{sgn}}(1-t))\pi\\
&= \begin{cases}0 &\left|t\right|>1 \\ \frac{\pi}{2} & \left|t\right|=1\\ \pi & \left|t\right|<1\end{cases}
\end{align*}
Ser det riktig ut?
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Leibniz integral rule

Innlegg Nebuchadnezzar » 04/05-2019 21:03

Ser flott ut dette =)

Om du vil ha litt mer kjøtt på beina ble spørsmålet ditt besvart her https://math.stackexchange.com/question ... c-function i en litt mer avansert form.
Men setter du $\omega_0 = 1$ får du oppgaven din. Er en kompleks løsning litt lengre ned og =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk og Fysikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5504
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 18 gjester