Vise at systemet Ay = y' har en entydig løsning [linalg]

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Vise at systemet Ay = y' har en entydig løsning [linalg]

Innlegg Gjest » 09/05-2019 19:34

Hei.

Gjør denne oppgaven (fra faget Matte3, delen differensialligninger)
" Vis at systemet
[tex]\begin{bmatrix} 3 & -1 & 2\\ 3 & -1 & 6\\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}\mathbf{y}=\mathbf{y'}[/tex]
med en gitt initialverdi [tex]\mathbf{y(0)=y_0}[/tex] har en entydig løsning."

Så, i forelesningsnotatene er det oppgitt i teoremer at
1. et initialverdiproblem,
[tex]y' = Ay, y(t_0)=y_0[/tex]
har en entydig/unik løsning.
2. løsningsrommet til [tex]y'=Ay[/tex] er n-dimensjonalt.

Opplyses også at initialverdiene bor i [tex]\mathbb{R}^n[/tex], og løsningene bestemmes av disse. Så da kan man slå fast at dimensjonen på løsningsrommet er n. Løsningsrommene er også definert for alle valg av t, så det holder å feks. se på [tex]t_0=0[/tex]. Det forteller oss bare at en løsningskurve er entydig bestemt av hvilket punkt den går gjennom når feks [tex]t_0 =0[/tex] (dette fører da til 2. over).

Det vi vet fra lineær algebra er at det [i]holder å finne n lineært uavhengige løsninger av [tex]y' = Ay[/tex], og at alle andre løsninger vil være en lineærkombinasjon av disse.
[/i]

Ok, da vet vi det... Men hvordan gå frem for å vise?

Så, det som egentlig sies her er at man må finne en basis for løsningsrommet til [tex]Ay=y'[/tex] ? Fordi en basis vil være n lineært uavhengige vektorer i et -dimensjonalt vektorrom.


(Har funnet at denne er [tex]\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}e^{2t}, \begin{bmatrix} -2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}e^{2t} \end{matrix},\begin{bmatrix} -1\\ -3\\ 2 \end{bmatrix}e^{-4t}\right.\left.\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}\right\}[/tex] )


Er ikke noe løsningsforslag, så litt usikker på hva som er riktig måte å vise dette på. Tar gjerne i mot andre fremgangsmåter også.
Gjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester