forstå lineærkombinasjon + sammenheng

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

forstå lineærkombinasjon + sammenheng

Innlegg Sarawfm » 23/05-2019 18:16

Hei!

sliter litt med å forstå lineærkombinasjon..
Egentlig virker det jo ganske greit.
La oss si vi skal løse en oppgave, vi får oppgitt [tex]v_1, v_2, v_2[/tex], og skal finne ut om en av disse er en lineærkombinasjon av de andre.

Vet at en vektor [tex]v[/tex] er en lineærkombinasjon hvis vi kan finne en løsning av

[tex]x_0v+x_1v_1+x_2v_2+x_2v_2 + ... + x_nv_n = 0[/tex]


med kravet om at minst én [tex]x_i \neq 0[/tex]. (tror jeg?)

Så la oss si at vi har [tex]\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2\\3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3\\4 \end{bmatrix}[/tex]. Og så skal vi finne ut om en av disse er en lineærkombinasjon av de andre. Og det vi da egentlig spør om er om det finnes ikke-trivielle løsninger.

Setter vi opp of reduserer totalmatrisa så får vi
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex].

Dvs. at vi ender opp med en fri variabel, som betyr at vi kan finne en ikke-triviell løsning. Som betyr at vi har uendelig mange løsninger, og ikke alle kan være lik nullvektoren. Så vi må ha minst en skalar/vekter som ikke er lik null, så minst en av vektorene er en lineærkombinasjon av de andre.


Har jeg resonnert riktig her? Føler det egentlig er ganske lett, men sliter litt med å se hele bildet og hvordan ting henger sammen...
(Noen som kjenner til noen god kilde som tar for seg sammenhengen mellom alle de ulike begrepene i lineær algebra?)
Sarawfm offline

Re: forstå lineærkombinasjon + sammenheng

Innlegg sarawfm » 23/05-2019 19:28

Og når vi har fri variabel, som impliserer at vektorene kan skrives som en lineærkombinasjon, så forteller det oss også at samlingen er lineært avhengig?
sarawfm offline

Re: forstå lineærkombinasjon + sammenheng

Innlegg sarawfm » 24/05-2019 13:15

Fant ut hva jeg lurte på!
Skriver det her i tilfelle noen andre skulle lure.

Det som er vesentlig når vi skal avgjøre om en vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av andre, er om det finnes en løsning, altså om systemet vi løser er konsistent eller inkonsistent.
Antall løsninger er ikke viktig. Minst en løsning gir minst en måte å skrive den gitte vektoren som en lineærkombinasjon av de andre - mens uendelig mange løsninger gir uendelig mange måter å skrive en lineærkombinasjon av de andre.
sarawfm offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 11 gjester