Sammenligningstester for rekker -> b=?

[PiaMaria]

Jeg øver til eksamen og håper det er noen som har lyst å løsne noen knuter i garnet. Jeg sliter med å forstå grense-/sammenligningstester hvor jeg skal sammenligner en a-rekke med en b-rekke jeg allerede vet om konvergerer eller divergerer. Jeg gambler som regel på at jeg har funnet en fornuftig b, noe som ikke alltid slår heldig ut. For å understreke spørsmålet mitt har jeg lagt til to eksempler.

I en oppgave (A); Finn ut om rekken konvergerer eller divergerer: [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{1+\sqrt{n}}[/tex] = [tex]a_{n}[/tex]
Her brukes grensesammenligningstesten hvor de i boka sammenligner med rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1} {\sqrt{n}}[/tex] = [tex]b_{n}[/tex].
Her kan jeg noenlunde forstå at de velger å sammenligne med denne b-rekken, ettersom at 1-erene har lite å si for rekken når n går mot uendelig. (Hvis det er slik tankegangen er.) Kunne man sammenlignet med en annen b?




Men vanligvis er det mer kompliserte oppgaver, som for eksempel i oppgaven (B) under:

Finn ut om rekken konvergerer eller divergerer: [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt[2]{n^2+1} -n[/tex]

Jeg har multiplisert teller og nevner med konjugat og kommet frem til [tex]\sum_{n=1}^{\infty }[/tex] [tex]\frac{1}{\sqrt[2]{n^2+1}+n}[/tex] = [tex]a_{n}[/tex]


I fasit har de videre brukt grensesammenligningstesten [tex]\lim_{\ n \rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}} = L[/tex], med [tex]b_{n}[/tex] = [tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}[/tex].

L = [tex]\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}}{\frac{1}{n}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] mellomregning [tex]\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2} > 0[/tex]

L [tex]>[/tex] 0 [tex]\Rightarrow[/tex] og [tex]\sum_{n=1}^{\infty }[/tex][tex]b_{n}[/tex] divergerer mot uendelig [tex]\Rightarrow[/tex] Rekken divergerer.


Jeg henger med på mellomregningene og utfallet, men jeg forstår absolutt ikke hvordan de kommer frem til å sammenligne med 1/n.
I oppgave (B) hadde jeg gjettet å sammenligne med [tex]\frac{1}{2n}[/tex], som heldigvis også konkluderte med at rekken divergerte, siden [tex]\frac{1}{2n}[/tex] divergerer.
Hvordan kan jeg "velge" en slik rekke å sammenligne med? Og når vet jeg at jeg evt. bør bruke disse testene fremfor de andre?

Her ble det litt spørsmål, men jeg håper at noen vil bidra med litt oppklaring

[DennisChristensen]

Vi skiller mellom to forskjellige sammenlikningstester, den direkte sammenlikningstesten og grensesammenlikningstesten. Vi går gjennom begge to:

Direkte sammenlikningstest. La $(a_k)$ og $(b_k)$ være to reelle følger hvor $0\leq a_k\leq Cb_k$ for alle $k$, hvor $C>0$ er en positiv konstant. Da konvergerer rekken $\sum a_k$ dersom rekken $\sum b_k$ konvergerer.

Bevis. Definér $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Da er $(s_n)$ monotont voksende ettersom $a_k \geq 0$. I tillegg er $(s_n)$ begrenset ovenfra fordi $s_n = \sum_{k=1}^na_k \leq C\sum_{k=1}^nb_k \leq C\sum b_k < \infty$, så $(s_n)$ konvergerer. $\square$

Grensesammenlikningstest La $(a_k)$ og $(b_k)$ være to positive følger og anta at $\frac{a_k}{b_k}\rightarrow L$, hvor $0 < L < \infty$. Da konvergerer rekken $\sum a_k$ hvis og bare hvis rekken $\sum b_k$ konvergerer.

Bevis. Bruk $\varepsilon-N-$definisjonen til konvergens på følgen $\left(\frac{a_k}{b_k}\right)$ med $\varepsilon = \frac12L$. Da vet vi at det finnes en $N\in\mathbb{N}$ slik at for alle $k\geq N$, har vi at $\left|\frac{a_k}{b_k} - L\right| < \frac12L$. Altså, $\frac12L<\frac{a_k}{b_k} < \frac32L$, så $\frac12Lb_k < a_k < \frac32Lb_k$. Vi kan nå bruke den direkte sammenlikningstesten. $\square$.

Nå, la oss se på eksemplene dine. Den første oppgaven er klassisk trening i grensesammenlikningstesten, ettersom $\frac{\sqrt{n} + 1}{\sqrt{n}} \rightarrow 1$ og vi vet at $\sum \frac1{\sqrt{n}}$ divergerer.

I neste eksempel må vi tenke litt mer over hvilken rekke det blir naturlig å sammenlikne med. Etter å ha skrevet om leddene som $\frac1{\sqrt{n^2+1} + n}$, må vi spørre oss selv "hvordan utvikler rekken seg når $n\rightarrow\infty$?". Siste ledd i nevneren er bare $\frac1n$. Første ledd, $\sqrt{n^2+1}$, vil vokse som $n$ når $n$ blir stor, så derfor blir kandidaten $\sum\frac1n$.

[PiaMaria]

Takker for rask svar.
Det er disse bevisene jeg sliter med å forstå, er det disse man bør ha i bakhodet for å finne en fornuftig rekke?

Ville det vært feil å satt [tex]b_{n} = \frac{2}{n}[/tex] for rekken [tex]\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+1}[/tex]?
For som du sier vi har [tex]\frac{1}{n}[/tex] og [tex]\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}[/tex] blir lik [tex]\frac{1}{n}[/tex] når n blir stor. Ser at jeg har skrevet feil ovenfor; Men fra dermed har jeg tenkt [tex]\frac{1}{n}+\frac{1}{n} = \frac{2}{n}[/tex].
Er det derfor man velger [tex]\frac{1}{n}[/tex], ettersom at dette er en forenklet versjon av [tex]\frac{2}{n}[/tex] og oppfører seg på samme måte?

[DennisChristensen]

Takker for rask svar.
Det er disse bevisene jeg sliter med å forstå, er det disse man bør ha i bakhodet for å finne en fornuftig rekke?

Nei, som regel gjelder det å undersøke hvordan leddene i rekken oppfører seg når $n\rightarrow\infty$.

Ville det vært feil å satt [tex]b_{n} = \frac{2}{n}[/tex] for rekken [tex]\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+1}[/tex]?
For som du sier vi har [tex]\frac{1}{n}[/tex] og [tex]\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}[/tex] blir lik [tex]\frac{1}{n}[/tex] når n blir stor. Ser at jeg har skrevet feil ovenfor; Men fra dermed har jeg tenkt [tex]\frac{1}{n}+\frac{1}{n} = \frac{2}{n}[/tex].
Er det derfor man velger [tex]\frac{1}{n}[/tex], ettersom at dette er en forenklet versjon av [tex]\frac{2}{n}[/tex] og oppfører seg på samme måte?

Det vil ikke utgjøre noen forskjell om du sammenlikner med $\frac2{n}$ eller $\frac1{n}$. Alt som skjer er at grenseverdien (i grensesammenlikningstesten) multipliseres med en positiv konstant.