underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 26/05-2019 10:29

Hei!

Gjør denne oppgaven:
Bilde

Og er litt usikker i a),

når jeg skal sjekke om betingelsene for underrom er oppfylt, feks

lar [tex]W = u+sa_1 + ta_2 = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}[/tex]



1. [tex]0 \in W[/tex]

er det da riktig å sjekke [tex]W=0[/tex], altså radredusere koeffisientmatrisen ? Radreduserer jeg da så får jeg [tex]x=\begin{bmatrix} -t\\ -t/s\\ 1 \end{bmatrix} x_3 (x_3 =a_2 ?)[/tex], som jo sier at 0-vektoren er inneholdt i systemet? Tror jeg? Veldig usikker på dette. Finnes det en bedre måte å sjekke om nullrommet ligger i W?

Også lurer jeg også litt på om noen har noen gode tips til det å sjekke krav 2, altså om systemet er lukket under addisjon.

Det jeg ser at jeg gjorde i innleveringen er

lar
[tex]v_1 = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} + s_1 \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + t_1 \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}[/tex]
og
[tex]v_2 = \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} + s_2 \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} + t_2 \begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}[/tex]

da vil
[tex]v_1 + v_2 = 2 \begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} s_1 + s_2\\ 2(s_1 + s_2)\\ 3 (s_1+ s_2) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2(t_1+t_2)\\ 3(t_1+t_2)\\ 4(t_1+t_2) \end{bmatrix}[/tex]

Den første vektoren oppfører seg jo som addisjon i [tex]\mathbb{R}^3[/tex], men blir jo annerledes fra vektoren i W, så er usikker på om jeg skal tolke resultatet som om W er lukket under addisjon eller ei.... Igjen, kom gjerne med et bedre forslag på hvordan man skal løse dette.


Føler jeg har fullstendig misforstått dette, selv om har prøvd å gjøre mange oppgaver og forstå det...
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 26/05-2019 23:40

Er ingen fasit, og glemte å be om tilbakemelding på øvingen, så vet ikke om jeg er helt på bærtur eller ei. Kunne også vært villig til å betale for 30-60 minutter hvis noen på Gløshaugen skulle hatt mulighet til å prøve å forklare det en dag...
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg DennisChristensen » 27/05-2019 08:03

Kall planet for $V$. Hint: $\textbf{0}\in\mathbb{V} \iff \textbf{u}, \textbf{a}_1, \textbf{a}_2$ er lineært avhengige.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 780
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 27/05-2019 08:15

DennisChristensen skrev:Kall planet for $V$. Hint: $\textbf{0}\in\mathbb{V} \iff \textbf{u}, \textbf{a}_1, \textbf{a}_2$ er lineært uavhengige.


Tusen takk! Det tenkte jeg ikke på!

Så siden vi får en ikke-triviell løsning [tex]\Leftrightarrow[/tex] vektorene er lineært avhengige [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\mathbf{0} \notin \mathbf{V}[/tex] ?

Da ble det jo veldig greit.
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 27/05-2019 08:18

Så når jeg har en ikke-triviell løsning med uendelig mange løsninger (dvs. en eller flere frie variabler), så er dette alle løsninger med unntak om 0-vektoren?

Litt usikker på dette. For synes å ha lest at da er 0-vektoren bare én av mange løsninger, men tror jeg husker feil. Et av kravene er jo at minst en av [tex]x_i \neq 0[/tex]
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg DennisChristensen » 27/05-2019 08:50

Gjest skrev:
DennisChristensen skrev:Kall planet for $V$. Hint: $\textbf{0}\in\mathbb{V} \iff \textbf{u}, \textbf{a}_1, \textbf{a}_2$ er lineært uavhengige.


Tusen takk! Det tenkte jeg ikke på!

Så siden vi får en ikke-triviell løsning [tex]\Leftrightarrow[/tex] vektorene er lineært avhengige [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\mathbf{0} \notin \mathbf{V}[/tex] ?

Da ble det jo veldig greit.


Mente å skrive "avhengige", rettet det nå. Ser du hvorfor lineær avhengighet gir at $\textbf{0}\in V$ og vice versa?
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 780
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 27/05-2019 11:39

DennisChristensen skrev:
Gjest skrev:
DennisChristensen skrev:Kall planet for $V$. Hint: $\textbf{0}\in\mathbb{V} \iff \textbf{u}, \textbf{a}_1, \textbf{a}_2$ er lineært uavhengige.


Tusen takk! Det tenkte jeg ikke på!

Så siden vi får en ikke-triviell løsning [tex]\Leftrightarrow[/tex] vektorene er lineært avhengige [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\mathbf{0} \notin \mathbf{V}[/tex] ?

Da ble det jo veldig greit.


Mente å skrive "avhengige", rettet det nå. Ser du hvorfor lineær avhengighet gir at $\textbf{0}\in V$ og vice versa?


Jeg tror det.
Fordi hvis vi lar V være et vektorrom, med settet [tex]S = \begin{Bmatrix} 0,v_1,v_2,...,v_n \end{Bmatrix}[/tex] [tex]\in V[/tex].
Skriver vi så (setter det opp som en lineærkombinasjon?)
[tex]c_0 0 + c_1 v_1+c_2v_2+...+c_nv_n=0[/tex]
og lar [tex]c_1 = 1, c_1 = c_2 = ... = c_n = 0[/tex]
får vi
[tex]1\cdot 0+0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 +...+ 0\cdot v_n=0[/tex]
Som viser at det ikke bare eksisterer en [tex]c_i[/tex] som tilfredsstiller ligningen vår, som impliserer at det er flere løsninger, og dermed må vektorene være lineært avhengige siden de har har ikke-trivielle løsninger?
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg Gjest » 27/05-2019 11:48

Har jeg rett i at V er lukket under addisjon?

har vi

[tex]V = \mathbf{u} + s \cdot \mathbf{a_1} + t \cdot \mathbf{a_2}[/tex]

og vi vil undersøke om [tex]V\in \mathbb{R}^3[/tex]
og det betyr at addering av to vektorer i V, også må ligge i V, hvis jeg forstår rett?
Lar jeg s og t være 0 (for å slippe å skrive så mye), får jeg [tex]\mathbf{2u}[/tex], hvordan vet jeg om det er utenfor V?
[tex]2\mathbf{u}[/tex] er i hvert fall i [tex]\mathbb{R}^3[/tex]...
Gjest offline

Re: underrom av R^3 - vise [linalg/matte3]

Innlegg DennisChristensen » 27/05-2019 20:34

Merk først at dersom $\textbf{0}\in V$ impliserer dette at vi kan finne $s, t$ slik at $\textbf{u} + s\textbf{a}_1 + t\textbf{a}_2 = \textbf{0}$, så $\textbf{u}, \textbf{a}_1$ og $\textbf{a}_2$ kan ikke være lineært uavhengige.

Ettersom $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{vmatrix} = 2\cdot 4 - 3\cdot 3 - \left((-1)4 - 3\cdot 1\right) + 2\left((-1)3 - 2\cdot 1\right) = -1 - (-7) + 2(-5) = -4\neq 0,$ er ikke vektorene lineært uavhengige. Dermed er ikke $\textbf{0}\in V$, så $V$ er ikke noe underrom av $\mathbb{R}^3$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 780
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 67 gjester