Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Innlegg mangekyou » 14/06-2019 11:04

Når vi bruker De Moivres til å omskrive [tex]-6+6\sqrt{3i}[/tex] til polarform regner vi ut lengden som er [tex]r=\sqrt{a^2+b^2}=12[/tex]
Så finner vi tetha ved regning [tex]\Theta =arctan \frac{6\sqrt{3}}{-6}= -\frac{1}{3}\pi[/tex]

Det er her jeg er usikker. Det jeg først gjør er å tegne inn koordinatene i en enhetssikrel. [tex]x=-6[/tex] og [tex]y=6\sqrt{3}[/tex]. Da må Theta være i andre kvadrant. Men riktig tetha er [tex]-\frac{1}{3}\pi +\pi[/tex] Hvordan vet jeg når jeg må legge til akkurat [tex]\pi[/tex] ?
Sist endret av mangekyou den 14/06-2019 12:11, endret 4 ganger.
mangekyou offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 19
Registrert: 14/06-2019 10:41
Bosted: Oslo

Re: Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Innlegg Aleks855 » 14/06-2019 11:44

Du fikk riktig argument såvidt jeg kan se. $-\frac13\pi = -60^\circ$ som havner i fjerde kvadrant. Men det er likevel fint å nevne et problem som KUNNE dukket opp.

Man kan ikke blindt bruke denne formelen fordi ved å regne ut $\theta$ på denne måten, så ser man bort fra at $\frac{-b}{-a} = \frac ba$. Så eksempelvis vil $2-2\sqrt3i$ og $-2+2\sqrt3i$ gi samme $\theta$ hvis man bruker formelen blindt, selv om de to tallene havner i forskjellige kvadranter.

På Wikipedia står en mer utfyllende formel, her med $x, y$ i stedet for $a, b$ men du skjønner sikkert greia.

$$
\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}
$$
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 5872
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Innlegg Gjest » 14/06-2019 11:49

Jeg regner med at du mener [tex]z=2-2\sqrt{3}i[/tex]
Dette skal skrives på polar form.

Da starter vi med å finne absoluttverdien til z, nesten slik som du har gjort:
[tex]|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}=4[/tex]

Deretter må vi finne argumentet. For det første ser vi at z skal ligge i fjerde kvadrant.
[tex]tan\Theta =\frac{b}{a}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Theta =-60^{\circ}+ k\cdot 180^{\circ}[/tex]
[tex]k=2: \Theta =300^{\circ}[/tex]
Her ser vi at k=2 gir et argument i fjerde kvadrant, under første omløp. Og her skjer det noe viktig, for tangens vil gi oss en verdi mellom -90 og 90 grader, og [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] og [tex]-\frac{\pi }{2}[/tex] radianer, og vi må legge til 0, 180 eller 360 grader, alt etter hvor tallet befinner seg.
Hvis det tenker på dette med tanke på radianer (som vi bruker når hvis vi skal skrive z på eksponential form) så må
[tex]-\frac{\pi }{3}=-60^{\circ}[/tex]
Hvis vi ønsker dette i første omløp adderer vi bare 360/[tex]2\pi[/tex] grader/radianer i dette tilfellet.

[tex]z=4(cos(300^{\circ})+i\cdot sin(300^{\circ}))[/tex]
Gjest offline

Re: Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Innlegg mangekyou » 14/06-2019 11:57

Aleks855 skrev:Du fikk riktig argument såvidt jeg kan se. $-\frac13\pi = -60^\circ$ som havner i fjerde kvadrant. Men det er likevel fint å nevne et problem som KUNNE dukket opp.

Man kan ikke blindt bruke denne formelen fordi ved å regne ut $\theta$ på denne måten, så ser man bort fra at $\frac{-b}{-a} = \frac ba$. Så eksempelvis vil $2-2\sqrt3i$ og $-2+2\sqrt3i$ gi samme $\theta$ hvis man bruker formelen blindt, selv om de to tallene havner i forskjellige kvadranter.

På Wikipedia står en mer utfyllende formel, her med $x, y$ i stedet for $a, b$ men du skjønner sikkert greia.

$$
\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}
$$



Den formelen hjalp veldig. Tusen takk!
mangekyou offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 19
Registrert: 14/06-2019 10:41
Bosted: Oslo

Re: Hjelp med rotasjon i enhetssirkelen

Innlegg mangekyou » 14/06-2019 12:02

Gjest skrev:Jeg regner med at du mener [tex]z=2-2\sqrt{3}i[/tex]
Dette skal skrives på polar form.

Da starter vi med å finne absoluttverdien til z, nesten slik som du har gjort:
[tex]|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}}=4[/tex]

Deretter må vi finne argumentet. For det første ser vi at z skal ligge i fjerde kvadrant.
[tex]tan\Theta =\frac{b}{a}=-\frac{2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Theta =-60^{\circ}+ k\cdot 180^{\circ}[/tex]
[tex]k=2: \Theta =300^{\circ}[/tex]
Her ser vi at k=2 gir et argument i fjerde kvadrant, under første omløp. Og her skjer det noe viktig, for tangens vil gi oss en verdi mellom -90 og 90 grader, og [tex]\frac{\pi }{2}[/tex] og [tex]-\frac{\pi }{2}[/tex] radianer, og vi må legge til 0, 180 eller 360 grader, alt etter hvor tallet befinner seg.
Hvis det tenker på dette med tanke på radianer (som vi bruker når hvis vi skal skrive z på eksponential form) så må
[tex]-\frac{\pi }{3}=-60^{\circ}[/tex]
Hvis vi ønsker dette i første omløp adderer vi bare 360/[tex]2\pi[/tex] grader/radianer i dette tilfellet.

[tex]z=4(cos(300^{\circ})+i\cdot sin(300^{\circ}))[/tex]


Jeg har bare vært litt slurvet og blandet sammen tall fra to oppgaver. Det skulle stått
[tex]z=-6+6\sqrt{3}i[/tex]
r=12
[tex]\Theta = \frac{6\sqrt{3}}{-6}[/tex][tex]=-\frac{1}{3}\pi[/tex]
mangekyou offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 19
Registrert: 14/06-2019 10:41
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 19 gjester