Matematikk 2

[Dumme Dina offline]

Hei!

Kunne noen våre så snille og forklare meg hvorfor en gradienten til f alltid står normalt på nivåkurven til f?
Jeg sliter også litt med å forstå hva nivårkurver egentlig her. Hva er selve funksjonen til nivåkurvene? Hva informasjon gir den oss?

Tusen takk!

[josi offline]

For funksjonen z = f(x,y) vil nivåkurvene angi ulike konstante høyder over xy-planet. For z = z0, bestemmes alle punkter (x,y) slik at f(x,y) = z0. Det blir altså en kurve hvis høyde over xy-planet er konstant lik z0. Hvis du kjenner til begrepet koter på et kart, har vi det samme forholdet. Koten angir en (tenkt) kurve i marka som holder en konstant høyde over havet, hvor havoverflaten tilsvarer xy-planet.
Gradienten angir retningen hvor en funksjon stiger sterkest. Tenk deg at du beveger deg i en fjellside langs en kote. Der vil stigningen være lik null. Beveger du deg i en retning som danner en liten vinkel opp fra koten vil du stige, men bare litt. Du vil stige sterkere jo større vinkelen er, helt til du når 90 grader. Da er stigningen maksimal, og du vil nettopp bevege deg langs en gradient, normalt på nivålinjen.

[Dumme Dina offline]

For funksjonen z = f(x,y) vil nivåkurvene angi ulike konstante høyder over xy-planet. For z = z0, bestemmes alle punkter (x,y) slik at f(x,y) = z0. Det blir altså en kurve hvis høyde over xy-planet er konstant lik z0. Hvis du kjenner til begrepet koter på et kart, har vi det samme forholdet. Koten angir en (tenkt) kurve i marka som holder en konstant høyde over havet, hvor havoverflaten tilsvarer xy-planet.
Gradienten angir retningen hvor en funksjon stiger sterkest. Tenk deg at du beveger deg i en fjellside langs en kote. Der vil stigningen være lik null. Beveger du deg i en retning som danner en liten vinkel opp fra koten vil du stige, men bare litt. Du vil stige sterkere jo større vinkelen er, helt til du når 90 grader. Da er stigningen maksimal, og du vil nettopp bevege deg langs en gradient, normalt på nivålinjen.

Tuuuusen takk! Dette var til stor hjelp!

[josi offline]

Bare en liten korreksjon. Gradienten står normalt på tangenten til nivåkurven. Den angir en retning i xy-planet og er altså parallell med dette. Nivåkurver er kurver i xy-planet (på samme måte som koter er kurver på kartet).

[anonym2 offline]

Hei!

Jeg lurer også på dette med gradienter. Har lest svaret ditt, men jeg skjønner fortsatt ikke helt...

Du skriver "Gradienten angir retningen hvor en funksjon stiger sterkest.", men jeg skjønner ikke helt hvorfor det er sånn. Hadde satt kjempestor pris på om du kan forklare!

[josi offline]

Den retningsderiverte av z = f(x,y) angir den infinitesimale økningen av z i en bestemt retning i xy-planet. Det viser seg at denne økningen er størst når den retningsderiverte er parallell med gradienten. Altså må gradienten angi retningen for den raskeste veksten. for en formell fremstilling, se f.eks. prof. Lorentzens demonstrajon fra NTNU: https://www.youtube.com/watch?v=G91x87gmKQE