Side 1 av 2

Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 13:49
av TordisTordis
Hei!
Dette er en oppgave jeg jobber med:

Gitt x^3+3x-1 = 0
1. Vis at likningen ikke har rasjonale løsninger.
2. Vis at likningen har nøyaktig en reell rot.
3. Vis at den reelle roten til likningen ligger mellom 0 og 1.
4. Bruk Cardanos metode for å finne den relle roten til likningen.

Mitt forslag:

1. Her ser jeg for meg at jeg skal sette inn p/q for x og finner ut noe lurt... Usikker på hva :lol:
2. Er usikker på hvordan jeg går fram her, men kan det være en ide å derivere funksjonen og så se om funksjonen alltid er stigende? Da er vel dette et tegn på bare en reell rot?
3. Dette kan jeg kanskje svare på ved å se om fortegnet skifter om jeg setter inn 1 og 2 for x i funksjonen?
4. Denne er vel rett fram, så jeg fikk 0,3222

Er jeg helt på bærtur? Bedre måter?

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 13:55
av Aleks855
1: Ja, du er på riktig spor. Se på hvordan likninga ser ut med den substitusjonen. Prøv først å forenkle likninga slik at du ikke har brøker. Da får vi et uttrykk som vi kan gjøre litt konklusjoner fra.

2: Jepp, det funker.

3: 0 og 1, men ja. Riktig tenkt.

4: $x \approx 0.322$, og det er viktig at vi bruker $\approx$ her. $x = 0.322$ ville vært feil svar, fordi det er en tilnærming og ikke eksakt.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 14:18
av TordisTordis
Oi. Takk for raskt svar!

Ja, altså... Jeg kunne kanskje tenkt at da får jeg p^3 + 3pq^2 - q^3 =0.
Da skal jeg sikkert komme fram til at dette ikke går an ved å sette inn to naturlige tall for p og q... Og et eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.
Kan du hjelpe meg videre?

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 14:43
av Aleks855
Ja, det er litt tricky.

Jeg tror det beste trikset er å dele opp tankegangen i enklere deler. For eksempel ved å se på pariteten til $p$ og $q$.

Først, la oss definere at $p/q$ er en redusert brøk. Det vil si at $\text{gcd}(p, q) = 1$. De har altså ingen felles primtallsfaktorer.

Tenk så over de tre ulike mulighetene:

1: Både $p$ og $q$ er partall.

2: Både $p$ og $q$ er oddetall.

3: Den ene er partall, den andre er oddetall.

Det skal la seg avgjøre at alle disse tre tilfellene enten fører til en selvmotsigelse, eller at $p^3 + 3pq^2 - q^3$ ikke kan bli $0$.

Jeg unngår å si svarene rett ut, fordi det er veldig lærerikt å tenke over akkurat dette, selv om du ikke kommer helt i mål selv. Spør videre hvis du står fast etter en stund.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 14:49
av TordisTordis
Ja, nå skal jeg se på det :D Setter pris på at du tok deg tid til å svare. Takk!

(Godt mulig jeg spør deg senere, da :D )


* Og ett(!) eller annet poeng med at p ikke er delelig på q.

Måtte bare.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 15:12
av TordisTordis
Hmm...

q og p kan i alle fall ikke begge være partall...

Jeg fikk en annen ide.
Hva om jeg setter inn p/q for x og så ganger alle ledd med q^2? Da får jeg jo p^3/ q + 3pq - q^2 = 0

Da er hi 3pq og q^2 naturlige tall. Skal dette holde må også p^3/q være et naturlig tall, men dette er ikke mulig da p ikke er delelig med q. Dette betyr at likningen ikke kan ha p/q som løsning.

Dette var vel ikke helt feil?
Nå er jeg spent på din løsning :-D

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 07/07-2019 18:45
av Aleks855
Som du sier, så kan ikke begge være partall.

Hvis begge er oddetall, så vil $p^3 + 3pq - q^3$ ikke kunne være 0, fordi vi får (oddetall + oddetall - oddetall) som blir et nytt oddetall.

Liknende argument for dersom de har forskjellig paritet.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 08/07-2019 12:19
av TordisTordis
Ja, jeg forstår at det er lite jeg husker fra bevisføring fra vgs...


Tusen takk!

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 08/07-2019 13:19
av josi
Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall? Ved å sette p = 2r og q = 2s får vi:

2^3*r^3 +3*2r*2^2s^2-2^3*s^3 = 0 . Her kan vi forkorte med 2^3, og vi er tilbake i det samme uttrykket, men med ulike variabelnavn.
Hvis r eller s eller begge er odde, får vi em motsigelese. Hvis de begge er partall, kan vi fortsett å forkorte til r eller s er et oddetall. Dermed motsigelse, men i utgangspunktet var den (for meg) ikke åpenbar.

TordisTordis forslag om å multiplisere med q^2 er snedig, men det strander vel på at q kan være oddetallet 1. Da får vi ikke noen motsigelse.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 09/07-2019 16:07
av Aleks855
josi skrev:Er det åpenbart at ikke både p og q kan være partall?
Ja, fordi vi definerte $x = p/q$ der $\text{gcd}(p, q) = 1$. Dersom begge er partall vil begge ha $2$ som felles faktor.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 09/07-2019 16:40
av josi
Takk! I etterkant er det meste åpenbart og intuitivt!

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 09/07-2019 22:56
av Aleks855
Matematikk i et nøtteskall :D

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 11/07-2019 22:10
av TordisTordis
Men hvorfor kunne ikke p og q være ett oddetall og ett partall? (Mulig jeg er helt fjern nå :roll: )

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 12/07-2019 14:10
av josi
Hvis p er odde og q et partall, får vi oddetall + partall - partall som er et oddetall.
Hvis q er odde og p et partall, får vi partall +partall - oddetall som også er et oddetall.
Altså en motsigelse i begge tilfeller da likningen sier at summen skal være lik null som er et partall.

Re: Tredjegradslikning

Lagt inn: 13/07-2019 16:41
av zzzivert
En annen måte å løse det på.
Hvis $p^3+3pq^2-q^3=0$ der $(p,q)=1$ så må vi ha at $p(p^2+3pq)=q^3$.
Så dersom et primtall deler $p$, må det også dele $q^3$ og derfor også $q$.
Men siden $(p,q)=1$ så må $p=\pm1$.
Vi kan også skrive det om til $q(q^2-3pq)=p^3$, og med samme argument får vi at $q=\pm1$.
Siden $(p,q)=(1,1) \vee (-1,1)$ ikke er en løsninger, har ikke likningen noen løsninger.