Ikke-tom delmengde av R

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Ikke-tom delmengde av R

Innlegg TordisTordis » 16/07-2019 09:49

Er det noen som kan forklare meg dette litt pedagogisk? :lol:



La M være verdimengden til funksjonen y=1/x, der definisjonsmengden er x E R, x større eller lik 1.

Gi en enkel begrunnelse for at M er en ikke-tom delmengde av R.

Løsningsforslag:
x=2 er i definisjonsmengden, og 1/2 E R er i verdimengden.


Ja... Hvorfor er dette en måte å vise det på? Tror problemet er at jeg ikke fullt ut forstår ikke-tom delmengde (selv om det sikkert ligger i ordet).


Og så lurer jeg på denne definisjonen av kompletthet for den reelle tallmengden R:
Enhver ikke-tom opptil begrenset delmengde av R har en minste øvre skranke. Enhver ikke-tom nedtil begrenset delmengde av R har en største nedre skranke.


Hva ligger i dette? Noen gode eksempler?
TordisTordis offline

Re: Ikke-tom delmengde av R

Innlegg Markus » 16/07-2019 18:13

Bruker din notasjon med $M$ for verdimengde. La videre $D$ være definisjonsmengden. Vi vet at $D=\{x \in \mathbb{R} : x \geq 1\}$. Videre er definisjonen på verdimengden $ M = \left \{\frac{1}{x} : x \in D \right \}$. Siden $2 \in D$ er dermed $\frac{1}{2} \in M$ av definisjonen på $M$, så $M$ er ikke-tom siden den har minst et element. Det er en delmengde av $\mathbb{R}$ siden $\frac1x \in \mathbb{R}$ for alle $x \geq 1$.

Kompletthetsprinsippet sier at $\mathbb{R}$ er komplett i den forstand av at den ikke har noen "hull". La oss se på de rasjonale tallene $\mathbb{Q}$, for å se litt mer på hva det mener. La $ \mathcal{M}= \{x \in \mathbb{Q}:x^2<2\}$. $\mathcal{M}$ er oppad begrenset i $\mathbb{Q}$, for eksempel er $\pi,5$ og $100$ alle øvre grenser for mengden, men dens minste øvre skranke er $\sqrt{2}$, og $\sqrt{2} \not \in \mathbb{Q}$. Derimot er $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, altså ser vi at det er et "hull" i $\mathbb{Q}$, som er "tettet igjen" i $\mathbb{R}$. Dette eksempelet vises kanskje enda bedre fram ved å se på skjæringssetningen, og her er kompletthetsprinsippet en helt essensiell del av beviset. Den sier at hvis $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ er en kontinuerlig funksjon og $f(a)<u<f(b)$ så finnes det en $c \in (a,b)$ slik at $u=f(c)$. Denne setningen sier kort sagt at funskjonen $f$ treffer alle punkter mellom $f(a)$ og $f(b)$ - altså er det ingen hull i grafen, akkurat som vi tenker geometrisk om kontinuitet. Funksjonen $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ definert ved $f(x)=x^2-2$ har ingen nullpunkter i $\mathbb{Q}$, siden selv om $f(0)<0<f(2)$ (siden $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$). Dermed passerer grafen gjennom $x$-aksen uten å faktisk "røre den" på veien, altså er det et "hull" i funksjonen. Hvis vi derimot lar $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vil grafen "røre" $x$-aksen på veien som en følge av skjæringssetningen. Hvis du synes at skjæringssetningen og kompletthetsprinsippet virker som like utsagn er ikke det rart. Faktisk er de ekvivalente utsagn. Dermed kunne du også tatt skjæringssetningen som et annet utgangspunkt (aksiom) for den reelle analysen, hvis du synes det gir mer mening.

Jeg håper dette klarte litt opp. Det er bare å spørre hvis det er noe mer du lurer på!
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Ikke-tom delmengde av R

Innlegg TordisTordis » 17/07-2019 13:58

Takk, Markus! :D
TordisTordis offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester