Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Innlegg Anonymjente » 16/07-2019 10:45

Hei! Trenger litt hjelp med denne oppgaven :-)

Beregn fluksintegralet

[tex]\int \int_{S} F \cdot N dS[/tex]

Der vektorfeltet F er gitt ved
[tex]F(x, y, z) = (5x^2 + ye^y)i + 3y^2 j + z k[/tex]

der S er den øvre halvdelen definert av [tex]x^2 + y^2 + z^2 = 4, z > 0,[/tex]
og enhetsnormalen har positiv k-komponent.


Det jeg skjønner er at jeg må bruke divergensteoremet. Jeg laget en lukket flate, ved å legg til bunnen.

[tex]\int \int \int_{T} div F dV = \int \int_{S} F\cdot N dS + \int \int_{B} F\cdot N_{b} dS[/tex]

Jeg finner ut at [tex]\int \int_{B} F\cdot N_{b} dS[/tex] blir lik null.
Men nå kommer det jeg ikke forstår
Dette sier fasiten:

Divergensen til F er div F = 10x + 6y + 1. Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null, så vi ender med

[tex]\int \int_{S} F\cdot N dS = \int \int \int _{T} 1 dV = 16\pi /3[/tex]

Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?

Om det var uforståelig det jeg skrev (er oppgave 5):
oppgaven : https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 05_15v.pdf /
fasiten: https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15v_lf.pdf

Håper noen kan hjelpe! :-)
Anonymjente offline

Re: Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Innlegg Gustav » 16/07-2019 13:30

Anonymjente skrev:Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?


$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Innlegg Anonymjente » 17/07-2019 20:30

Gustav skrev:
Anonymjente skrev:Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?


$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$


Åhh! Tusen tusen takk! Jeg forsto det nå!!
Anonymjente offline

Re: Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Innlegg Anonymjente » 18/07-2019 12:53

Gustav skrev:
Anonymjente skrev:Det jeg ikkje forstår er dette:

"Fordi T er symmetrisk både om yz-planet og
xz-planet blir integralet over T av henholdsvis x og y lik null"

Hvorfor får vi bare: [tex]\int \int \int _{T} 1 dV[/tex]?


$\iiint_T 10x+6y+1 \,dV=10\iiint_T x\, dV+6\iiint_T y\, dV +\iiint_T 1\, dV$

$\iiint_T x\, dV =0$ fordi integrasjonsområdet er symmetrisk om yz-planet samtidig som at integranden er antisymmetrisk om yz-planet. Dvs. at ethvert bidrag til integralet i punkt (x,y,z) nulles ut av bidraget i punkt (-x,y,z). (Tenk her på integralet som en Riemannsum, dvs. summen av funksjonsverdiene til f(x,y,z)=x over alle infinitesimale bokser som utgjør området T)

Dette er bare en tredimensjonal versjon av følgende: $\int_{-a}^a x\,dx=0$ fordi integranden er antisymmetrisk om origo samtidig som at integrasjonsområdet er symmetrisk om origo.

Alternativt: La $T_{-}=\{p\in T: x\le 0\}$ og $T_+=T\setminus T_{-}$, slik at $\iiint_T x\, dV=\iiint_{T_-} x\, dV+\iiint_{T_+} x\, dV$. Ved å foreta variabelskiftet $x\mapsto -x$ i det første integralet til høyre, fås $\iiint_{T_-} x\, dV=-\iiint_{T_+} x\, dV$, så $\iiint_{T} x\, dV=0$



Har du mulighet til å forklare noe annet også for meg? :-)
oppgave 6 b): https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15_15k.pdf
Fasit: https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... 15_15k.pdf

Det jeg ikke forstår er at når fasiten ser på S1 so blir grensene 0<r<1.
Altså den øvste flaten S1 er jo: z = 4-(3x^2 + y^2). Dersom en projekserer denne ned i xy-planet so blir jo ikke dette en sirkel med radius 1. Så forstår ikkje hvorfor grensen blir 0<r<1.
Anonymjente offline

Re: Fluksintegral - matematikk 2 :-)

Innlegg Gustav » 18/07-2019 18:56

Anonymjente skrev:Det jeg ikke forstår er at når fasiten ser på S1 so blir grensene 0<r<1.
Altså den øvste flaten S1 er jo: z = 4-(3x^2 + y^2). Dersom en projekserer denne ned i xy-planet so blir jo ikke dette en sirkel med radius 1. Så forstår ikkje hvorfor grensen blir 0<r<1.


Det er projeksjonen av skjæringskurven mellom de to flatene ned på xy-planet som er en sirkel med radius $1$ (som er forskjellig fra nivåkurvene til $S_1$), og som avgjør integrasjonsgrensen for $r$. Skjæringskurven finner du ved å sette $x^2+3y^2=4-(3x^2+y^2)\Rightarrow x^2+y^2=1$, som er en sirkel med radius 1.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester