Temperaturen T(x,y) i punkter i xy-planet er gitt ved T(x,y) = x[sup]2[/sup] -2y[sup]2[/sup].
Et insekt beveger seg i retningen [-1,-1] med hastighet k, "at what rate" opplever den minkingen i temperatur? Altså degrees/unit time.
2-dimensjons problem
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Tollev
Temperaturen T(x,y) i punkter i xy-planet er gitt ved T(x,y) = x[sup]2[/sup] -2y[sup]2[/sup].
Jeg skal finne ut, "if an ant in position (2,-1) moves in direction -i-j at speed k (units/time), at what rate does it experience the decrease of temperature?"
Får skrive hva jeg tenker da.
Hvor stor er altså forandringen i retningen [-1,-1] ut fra punktet (2,-1)?
DûT(2,1) = gradT(2,1)*[1/[rot][/rot]2, 1/[rot][/rot]2]
Da har jeg grader/lengde, og så ganger jeg med farten k, som er lengde/tid, for å få grader/tid. Dette gir meg da et svar som ikke stemmer overens med fasiten, den sier 4[rot][/rot]2 grader/tid.
Hva gjør jeg feil?
Jeg skal finne ut, "if an ant in position (2,-1) moves in direction -i-j at speed k (units/time), at what rate does it experience the decrease of temperature?"
Får skrive hva jeg tenker da.
Hvor stor er altså forandringen i retningen [-1,-1] ut fra punktet (2,-1)?
DûT(2,1) = gradT(2,1)*[1/[rot][/rot]2, 1/[rot][/rot]2]
Da har jeg grader/lengde, og så ganger jeg med farten k, som er lengde/tid, for å få grader/tid. Dette gir meg da et svar som ikke stemmer overens med fasiten, den sier 4[rot][/rot]2 grader/tid.
Hva gjør jeg feil?
Hva er k da? Jeg kan ikke (i farten) se at du gjør noe galt.
Endringen i T i retningen [-1,-1] (normaliser denne til n, dvs n er en enhetsvektor i denne retningen) i punktet (2,-1) er gradT(2,-1)*n. Og denne er 4[rot][/rot]2.
Ganger med k slik at svaret blir 4k[rot][/rot]2 (grader / tid).
Se to ganger på fasitsvaret, så ser du kanskje en k der. Eller står det kanskje at k=1 i oppgaveteksten?
Endringen i T i retningen [-1,-1] (normaliser denne til n, dvs n er en enhetsvektor i denne retningen) i punktet (2,-1) er gradT(2,-1)*n. Og denne er 4[rot][/rot]2.
Ganger med k slik at svaret blir 4k[rot][/rot]2 (grader / tid).
Se to ganger på fasitsvaret, så ser du kanskje en k der. Eller står det kanskje at k=1 i oppgaveteksten?
-
Tollev
Lengden av gradienten i (2,1) blir jo 4[rot][/rot]2, men denne skal jo også ganges med retningen, da blir det jo noe annet!
Og ja, står en k i fasitsvaret.[rot][/rot]
Og ja, står en k i fasitsvaret.[rot][/rot]
Du kan gjøre dette på to måter, som egentlig er en og samme ting:
1. Finne den retningsderiverte til T i retning [-1,-1]. Dette er grad(T)*n, der n må/skal være en enhetsvektor. Deretter ganger du med hastigheten, som er en skalar.
2. Ta en snarvei ved å finne grad(T)*v, der v er hastighetsvektoren. v skal ha lengde k, og peke i retning [-1,-1]. Dvs v = k*n, der n er fra over.
1. Finne den retningsderiverte til T i retning [-1,-1]. Dette er grad(T)*n, der n må/skal være en enhetsvektor. Deretter ganger du med hastigheten, som er en skalar.
2. Ta en snarvei ved å finne grad(T)*v, der v er hastighetsvektoren. v skal ha lengde k, og peke i retning [-1,-1]. Dvs v = k*n, der n er fra over.
-
Tollev
Jepp, nå skjønner jeg. Takk.
Samme oppgave, følgende problem, "along what curve through (2,-1) should the ant move in order to continue to experience maximum rate of cooling?"
Samme oppgave, følgende problem, "along what curve through (2,-1) should the ant move in order to continue to experience maximum rate of cooling?"
Jeg ser det skal være et minustegn på svaret: -4k[rot][/rot]2.
Du må her bare finne retningen n = [n[sub]x[/sub] , n[sub]y[/sub]] slik at k*grad(T)*n blir minimert (mest mulig negativ) i punktet (2,-1).
Du har vel to valg her; den ene er sjapp, og den andre er rett.
1. Vi ser
k*grad(T)*n = 4k(n[sub]x[/sub] + n[sub]y[/sub])
Du ser kanskje at denne blir minimert i retningen [-1,-1] (som må normaliseres). Du får dermed samme svar som tidligere.
2. Du har den samme ligningen som over. Bruk at n[sub]x[/sub][sup]2[/sup] + n[sub]y[/sub][sup]2[/sup] = 1 (pga normaliseringen), slik at ligningen bare har en ukjent. Da er det bare å derivere og minimere som du pleier å gjøre med vanlige funksjoner.
Du må her bare finne retningen n = [n[sub]x[/sub] , n[sub]y[/sub]] slik at k*grad(T)*n blir minimert (mest mulig negativ) i punktet (2,-1).
Du har vel to valg her; den ene er sjapp, og den andre er rett.
1. Vi ser
k*grad(T)*n = 4k(n[sub]x[/sub] + n[sub]y[/sub])
Du ser kanskje at denne blir minimert i retningen [-1,-1] (som må normaliseres). Du får dermed samme svar som tidligere.
2. Du har den samme ligningen som over. Bruk at n[sub]x[/sub][sup]2[/sup] + n[sub]y[/sub][sup]2[/sup] = 1 (pga normaliseringen), slik at ligningen bare har en ukjent. Da er det bare å derivere og minimere som du pleier å gjøre med vanlige funksjoner.
-
Tollev
Trekker opp denne igjen:
T(x,y) = x[sup]2[/sup] - 2y[sup]2[/sup], along what curve through (2,-1) should the ant move in order to continue to experience maximum rate of cooling?
T(x,y) = x[sup]2[/sup] - 2y[sup]2[/sup], along what curve through (2,-1) should the ant move in order to continue to experience maximum rate of cooling?
Jeg fikk no løst den til slutt 
Du vet at grad(T) er tangent vektor til kurven y = y(x) som du er ute etter.
Tegn en rettvinklet trekant der grad(T) danner hypotenusen. Hele greia er at denne trekanten er formlik med trekanten der katetene har lengde 1 og y'(x). Tegn figur hvis dette ikke er klart.
Siden grad(T) = 2*(x, -2y) er
y'(x) = -2y / x
Sammen med y(2) = -1 danner dette et initialverdiproblem som du sikkert ikke har vanskeligheter med å løse.
Du vet at grad(T) er tangent vektor til kurven y = y(x) som du er ute etter.
Tegn en rettvinklet trekant der grad(T) danner hypotenusen. Hele greia er at denne trekanten er formlik med trekanten der katetene har lengde 1 og y'(x). Tegn figur hvis dette ikke er klart.
Siden grad(T) = 2*(x, -2y) er
y'(x) = -2y / x
Sammen med y(2) = -1 danner dette et initialverdiproblem som du sikkert ikke har vanskeligheter med å løse.
-
Tollev
Mulig jeg er smådum, men jeg får det ikke til! Er heller ikke helt med på tankegangen. Ekkel oppgave! 
Hva er uklart da? Du vet at vektoren grad(T) alltid peker i den retningen funksjonen T øker mest. Så denne vektoren vil være tangent til den kurven du er ute etter.
Tegn denne kurven på et ark og tegn tangentlinjen i et vilkårlig punkt på denne kurven. Tegn så inn trekanten du får med grad(T) som hypotenusen.
På videregående lagde dere sikkert masse tegninger om hva y'(x) var. Du kan tegne dette som en trekant der den horisontale kateten er har lengde 1, og den vertikale kateten har lengde y'(x). Du vil se at de to trekantene er formlike, dvs at de bare er skalerte versoner av hverandre.
For å finne et uttrykk for y'(x) er det bare å bruke dine kunnskaper om formlike trekanter: forholdet mellom katetene på de to trekantene er den samme. Dvs
y'(x) / 1 = (y-komponent av grad(T)) / (x-komponent av grad(T))
y'(x) = -2y / x
og denne klarer du sikkert å løse når du vet at y(2)=-1.
Tegn denne kurven på et ark og tegn tangentlinjen i et vilkårlig punkt på denne kurven. Tegn så inn trekanten du får med grad(T) som hypotenusen.
På videregående lagde dere sikkert masse tegninger om hva y'(x) var. Du kan tegne dette som en trekant der den horisontale kateten er har lengde 1, og den vertikale kateten har lengde y'(x). Du vil se at de to trekantene er formlike, dvs at de bare er skalerte versoner av hverandre.
For å finne et uttrykk for y'(x) er det bare å bruke dine kunnskaper om formlike trekanter: forholdet mellom katetene på de to trekantene er den samme. Dvs
y'(x) / 1 = (y-komponent av grad(T)) / (x-komponent av grad(T))
y'(x) = -2y / x
og denne klarer du sikkert å løse når du vet at y(2)=-1.