matematikk.net

Hei,

Jeg skal svare på om
f: R --> [0, uendelig), f (x)= x^2

f: (0, pi) --> R, f(x) = cot x= cos x/sin x

f: [1, uendelig) --> (0,1], f(x)=1/x

er injektive, surjektive, bijektiv eller ingen av delene.

Slik tenker jeg:
Den første går jeg ut fra er bijektiv pga. kodomenets "begrensninger" til positive tall. Hadde en tatt med negative verdier for kodomenet ville den ikke vært surjektiv.

Den andre tenker jeg at er injektiv, men ikke surjektiv da alle elementer i domet har relasjon til ulike elementer i kodomenet... Men siden flere elementer i kodomenet ikke er et bilde av noe element i A, er ikke funksjonen surjektiv.

Den tredje tror jeg også er bijektiv fordi alle elementer i domenet har relasjon til ulike elementer i kodomenet og fordi alle elementer i kodomet er bilde av minst ett element i kodomet.

Tenker jeg riktig?

TordisTordis skrev: Jeg skal svare på om
1. f: R --> [0, uendelig), f (x)= x^2

2. f: (0, pi) --> R, f(x) = cot x= cos x/sin x

3. f: [1, uendelig) --> (0,1], f(x)=1/x

er injektive, surjektive, bijektiv eller ingen av delene.

Nr 1. er surjektiv, men ikke injektiv siden inversbildet $f^{-1}(1)=\{\pm 1\}$ består av flere enn ett element.

Nr. 2 er bijektiv siden $\lim_{x\to 0} \cot x=\infty$, $\lim_{x\to \pi} \cot x=-\infty$, og $(\cot x)'<0$ på hele intervallet.

Nr. 3 er bijektiv siden $(\frac1x)'<0$ for alle x i domenet, $f(1)=1$ og $\lim_{x\to \infty}\frac1x=0$

Takk! Tror jeg er med på de to siste, men litt usikker på hva du mener med første... Trodde den var bijektiv pga. den gjaldt bare positive verdier...

TordisTordis skrev:Takk! Tror jeg er med på de to siste, men litt usikker på hva du mener med første... Trodde den var bijektiv pga. den gjaldt bare positive verdier...

Den første er ikke injektiv siden det fins flere elementer i domenet som avbildes til samme element i kodomenet. For at den første skulle vært bijektiv måtte domenet f.eks. ha vært kun de ikkenegative reelle tallene, $\mathbb{R}^+$.

Aha! Selvfølgelig. Jeg leste oppgaven litt feil. Da er jeg med! Takk!