matematikk.net

Hei,

Fra et eksempel i calculus: Når man skal finne maclaurin serien for sin^2(x), så ser jeg at de velger å gjøre det slik:
[tex]sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{2^{2n+1}}{(2n+2)!}x^{2n+2}[/tex]

Hvorfor går det ikke an å gange sin(x) sin maclaurin serie og gange den med seg selv igjen? Altså: hvorfor er det over mer rett? Jeg prøvde å gange den med seg selv og fikk jo forskjellig svar

Takk

Nå fikk vi ikke se forsøket ditt, men en mulig snublestein du kan ha truffet er hvordan man ganger sammen to uendelige summer. Det kan jo ikke gjøres ledd-for-ledd.

SAGB1997 skrev:Hei,

Fra et eksempel i calculus: Når man skal finne maclaurin serien for sin^2(x), så ser jeg at de velger å gjøre det slik:
[tex]sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n \frac{2^{2n+1}}{(2n+2)!}x^{2n+2}[/tex]

Hvorfor går det ikke an å gange sin(x) sin maclaurin serie og gange den med seg selv igjen? Altså: hvorfor er det over mer rett? Jeg prøvde å gange den med seg selv og fikk jo forskjellig svar

Takk

Sli kdu beskriver det, så ganger du uttrykket innenfor summasjonstegnet med seg selv, og det er jo ikke lov helt uten videre for rekker. Altså:
[tex]sin^2(x)=sin(x)\cdot sin(x)=\left ( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \right )\cdot \left ( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \right )\neq \sum_{n=0}^{\infty}\left ( \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \right )^2[/tex]

For å utdype det som er sagt over: i prinsippet er det mulig å betrakte taylorrekken for $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ som en formell rekke (altså et uendelig langt polynom), og gange den sammen med seg selv og telle opp hva koeffisienten til hver potens burde være (på samme måte som man ganger sammen to normale polynomer). Da skal du få et svar som samsvarer med metoden du nevnte. Problemet med dette er at man får det $n$te koeffisienten som en sum fra $0$ til $n$, og det vil ikke være åpenbart hvordan man skal redusere uttrykket til noe mer håndterlig.

Okei, tusen takk for alle svarene! Nå skjønte jeg det