matematikk.net

Noen som løser denne:

[tex]f: Z\,->\,Z[/tex]

[tex]f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy+1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]


en metode er jo:
[tex]f(0)=-1[/tex],
[tex]f(1)=2[/tex],
[tex]f(2)=11[/tex],
[tex]f(3)=26[/tex]


og anta ett 2. gradspolynom, som ved regresjon gir:


[tex]f(x)=3x^2-1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]

Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.

DennisChristensen skrev:Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.

enkelt og greit, takker...