Laplace transformasjonen for cos^3(wt)
Lagt inn: 26/08-2019 14:54
hei!
Skal utlede Laplace transformasjonen for cos^3(wt), hvor w= omega ω, men bruker w for å skrive fortere.
Har tenkt som følger.
1. bruker definisjonen av Laplace: [tex]L{(ft) }=\int_{0}^{inf}e^{-st}f(t)dt[/tex]
2. definerer [tex]cos^3(\omega t)=1/4(3cos(\omega t)+cos(3 \omega t))[/tex]
[tex]cos(\omega t)=\frac{1}{2}(e^{(iwt)}+e^{-iwt}), cos(3 \omega t)=\frac{1}{2}(e^{(3 iwt)}+e^{-3iwt})[/tex]
3. setter så opp integralet mitt
[tex]\frac{1}{4} \int_{0}^{\infty } (\frac{3}{2}(e^{(iwt)}+e^{-iwt}) + \frac{1}{2}(e^{(3 iwt)}+e^{-3iwt})) e^{-st} dt[/tex]
4. løser på "vanlig" vis, forenkler (felles nevner) og får
[tex]\frac{1}{4} (\frac{3s}{\omega ^2+s^2}+ \frac{s}{9 \omega ^2+s^2})[/tex]
Er dette riktig tankemåte? Noen innspill på en bedre fremgangsmåte? Eventuelt hint i en annen retning hvis det er feil?
Skal utlede Laplace transformasjonen for cos^3(wt), hvor w= omega ω, men bruker w for å skrive fortere.
Har tenkt som følger.
1. bruker definisjonen av Laplace: [tex]L{(ft) }=\int_{0}^{inf}e^{-st}f(t)dt[/tex]
2. definerer [tex]cos^3(\omega t)=1/4(3cos(\omega t)+cos(3 \omega t))[/tex]
[tex]cos(\omega t)=\frac{1}{2}(e^{(iwt)}+e^{-iwt}), cos(3 \omega t)=\frac{1}{2}(e^{(3 iwt)}+e^{-3iwt})[/tex]
3. setter så opp integralet mitt
[tex]\frac{1}{4} \int_{0}^{\infty } (\frac{3}{2}(e^{(iwt)}+e^{-iwt}) + \frac{1}{2}(e^{(3 iwt)}+e^{-3iwt})) e^{-st} dt[/tex]
4. løser på "vanlig" vis, forenkler (felles nevner) og får
[tex]\frac{1}{4} (\frac{3s}{\omega ^2+s^2}+ \frac{s}{9 \omega ^2+s^2})[/tex]
Er dette riktig tankemåte? Noen innspill på en bedre fremgangsmåte? Eventuelt hint i en annen retning hvis det er feil?