Følge

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Følge

Innlegg Følger » 05/09-2019 10:46

Hei,
Sitter her med en oppgave som trengs å bli løst en gang for alle, håper noen eksperter i matte kan gi løsningsforslag for denne, den lyder som følger:

Oppgave 12a)

En følge [tex]{a_{n}}[/tex] er definert ved [tex]a_{1} = 3, a_{n+1} = 3\sqrt{a_n}[/tex] for [tex]n ≥ 1[/tex].
Vis at [tex]a_n < 9[/tex] og at [tex]a_n+1 > a_n[/tex] for alle n. Forklar hvorfor følgen konvergerer
og finn [tex]\lim_{n→∞} a_n[/tex].
Følger offline

Re: Følge

Innlegg Gustav » 05/09-2019 12:40

Følger skrev:Oppgave 12a)

En følge [tex]{a_{n}}[/tex] er definert ved [tex]a_{1} = 3, a_{n+1} = 3\sqrt{a_n}[/tex] for [tex]n ≥ 1[/tex].
Vis at [tex]a_n < 9[/tex] og at [tex]a_n+1 > a_n[/tex] for alle n. Forklar hvorfor følgen konvergerer
og finn [tex]\lim_{n→∞} a_n[/tex].



For å vise $0<a_n<9$ bruk induksjon.

For å vise $3\sqrt{a_n}>a_n$. Bruk at $0< a_n<9$.

Følgen er konvergent av det monotone konvergensteorem.

La til slutt $\lim_{n\to\infty}a_n=x$. Fra definisjonen er da $x=3\sqrt{x}$, som løses.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Følge

Innlegg josi » 05/09-2019 13:04

Skriv rotuttrykkene som potensuttrykk og se om du finner et mønster:
A1 = 3
A2 =3*A1^12 = 3^1/2
A3 =3* A2^1/2 = 3*3^1/2*(3^1/2)^1/2 = 3*3^1/2*3^1/4
A4 = 3*3^1/2*3^1/4*3^1/8
.
.
An = 3*3^1/2*3^1/4*3^1/8* .....*3*3^(1/2^(n-1)) = 3* 3^(1/2+1/4+1/8+....+1/2^(n-1).

Her danner eksponenten en geometrisk rekke hvor første leddet = 1/2 og siste leddet = 1/2^(n-1).
Summen av de n-1 første leddene = 1/2*(1/2^(n-1)-1)/(1/2-1) = -(1/2^(n-1) -1) = 1-1/2^(n-1) slik at An = 3*3^(1-1/2^(n-1)).
Siden 1-1/2^(n-1) er mindre enn 1 for alle n > 1, er An alltid mindre enn 9. Følgen konvergerer mot 9 nedenfra.

I oppgaveteksten skal vel An + 1 > An bety at ledd An +i > An?
josi offline

Re: Følge

Innlegg sukkrt0y » 17/09-2019 13:20

Hei, jeg skjønner ikke hvordan man skal vise at 0<an<9, kan noen forklare meg det?
sukkrt0y offline

Re: Følge

Innlegg josi » 17/09-2019 13:41

sukkrt0y skrev:Hei, jeg skjønner ikke hvordan man skal vise at 0<an<9, kan noen forklare meg det?


Når n går mot uendelig, konvergerer An mot 3*3^k hvor k = (1-1/2^(n-1)). k vil alltid være mindre enn 1, men nærme seg nedenfra når n går mot +uendelig. Da vil 3^k næme seg 3 nedenfra, men for endelig n > 1 stadig være mindre enn 3. An = 3*3^k vil følgelig alltid være mindre enn 9.
josi offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 9 gjester