matematikk.net

Hei,
Denne var litt vrien. Hvis noen kunne løst denne er den genial. Hadde hjulpet meg svært.

Oppgave 2e)
Finn de komplekse tallene [tex]z[/tex] som oppfyller likningen
[tex]2|z − 1| = |z − 4|[/tex]
og skisser løsningsmengden i det komplekse planet.
(Hint: Sett inn [tex]z = x + iy[/tex] og finn en polynomlikning i x og y for
løsningsmengden.)

Hvor langt kommer du med hintet?

Der ingen skulle tru nokon bor. Finner bare reele, ikke komplekse, hvilke komplekse fant du da? Og hvor ligger løsningsmengden i det komplekse planet?

Hintet gir

z - 1 = (x - 1 ) + i y [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left | z - 1 \right |[/tex] = [tex]\sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}}[/tex]

z - 4 = ( x - 4 ) + i y [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\left | z - 4 \right |[/tex] = [tex]\sqrt{(x - 4)^{2}+ y^{2}}[/tex]

Vegen vidare: Sett 2 [tex]\left | z - 1 \right |[/tex] = [tex]\left | z - 4 \right |[/tex]

Kvadrer for å bli kvitt rotteikna. Da endar vi opp med sirkellikninga

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = 4 = 2[tex]^{2}[/tex]

Løysing på kompleks form: z = 2 e[tex]^{i\varphi }[/tex] , 0 [tex]\leq[/tex] [tex]\varphi[/tex] [tex]<[/tex] 2[tex]\pi[/tex]