Convolution

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Convolution

Innlegg Gjest123 » 08/09-2019 13:28

Er litt usikker på hvordan jeg skal løse følgende oppgave:
https://imgur.com/a/fGQduRX

vet jo at fra regelen om at konvolusjon er kommutativ har vi
[tex](f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)d\tau=(g*f)(t)[/tex]
og dessuten
[tex](f*g)'=f'*g=f*g'[/tex]

Men synes det virker for enkelt at dette er tilstrekkelig bevis på det første oppgaven ber om.
Andre del forstår jeg ikke helt hvordan man kommer frem til, så om noen kan komme med hint eller litt hjelp ville det blitt satt stor pris på.
Gjest123 offline

Re: Convolution

Innlegg Gjest » 08/09-2019 15:22

Fikk opplyst fra studass at 3(i) egentlig ikke skal løses, er kun for å brukes i 3(ii). Men første del er i hvert fall så enkel som man først tror; bare å utføre operasjonen. den andre skjønner ikke jeg heller hvordan man kommer frem til
Gjest offline

Re: Convolution

Innlegg Emilga » 08/09-2019 16:19

Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1403
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Convolution

Innlegg Gjest123 » 08/09-2019 20:23

Emilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?


Nei, har ikke hørt om det. Så litt på det nå, men kan ikke si jeg ble noe klokere. Kunne forsøkt å forklare sammenhengen?
Gjest123 offline

Re: Convolution

Innlegg Gjest123 » 08/09-2019 21:21

Emilga skrev:Kjenner du til Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?


Eller jo begynner å forstå. Men skjønner ikke helt siste del med å bruke partiell derivasjon for å få
[tex]\int _0^tf'(t-r)g(r)dr[/tex]
Gjest123 offline

Re: Convolution

Innlegg Emilga » 08/09-2019 21:57

La oss skrive Leibniz' Integralregel på formen:

$$ \frac d{dt} \left( \int_{a(t)}^{b(t)} h(t, r) dr \right) = h(t, b(t)) \cdot \frac d{dt} b(t) - h(t, a(t)) \cdot \frac d{dt} a(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac \partial{\partial t} h(t, r) dr$$

Da er det lettere å gjenkjenne at: $a(t) = 0$, $b(t) = t$, og $h(t, r) = f(t-r)g(r)$, i vårt eksempel.

Dermed blir integranden på høyre side:

$$ \frac \partial{\partial t} h(t,r) = \frac{\partial f(t-r)}{\partial t} g(r) + f(t-r) \frac{\partial g(r)}{\partial t} = f^\prime (t-r) \frac{\partial (t-r)}{\partial t} g(r) = f^\prime (t-r) \cdot 1 \cdot g(r) = f^\prime (t-r) g(r)$$

Og så får vi f.eks. $h(t, b(t)) = h(t, t) = f(t-t)g(t) = f(0)g(t)$.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1403
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester