Side 1 av 1
Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 14:28
av Gjest123
Er litt usikker på hvordan jeg skal løse følgende oppgave:
https://imgur.com/a/fGQduRX
vet jo at fra regelen om at konvolusjon er kommutativ har vi
[tex](f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)d\tau=(g*f)(t)[/tex]
og dessuten
[tex](f*g)'=f'*g=f*g'[/tex]
Men synes det virker for enkelt at dette er tilstrekkelig bevis på det første oppgaven ber om.
Andre del forstår jeg ikke helt hvordan man kommer frem til, så om noen kan komme med hint eller litt hjelp ville det blitt satt stor pris på.
Re: Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 16:22
av Gjest
Fikk opplyst fra studass at 3(i) egentlig ikke skal løses, er kun for å brukes i 3(ii). Men første del er i hvert fall så enkel som man først tror; bare å utføre operasjonen. den andre skjønner ikke jeg heller hvordan man kommer frem til
Re: Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 17:19
av Emilga
Kjenner du til
Leibniz Integral Rule for derivasjon av integraler?
Re: Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 21:23
av Gjest123
Nei, har ikke hørt om det. Så litt på det nå, men kan ikke si jeg ble noe klokere. Kunne forsøkt å forklare sammenhengen?
Re: Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 22:21
av Gjest123
Eller jo begynner å forstå. Men skjønner ikke helt siste del med å bruke partiell derivasjon for å få
[tex]\int _0^tf'(t-r)g(r)dr[/tex]
Re: Convolution
Lagt inn: 08/09-2019 22:57
av Emilga
La oss skrive Leibniz' Integralregel på formen:
$$ \frac d{dt} \left( \int_{a(t)}^{b(t)} h(t, r) dr \right) = h(t, b(t)) \cdot \frac d{dt} b(t) - h(t, a(t)) \cdot \frac d{dt} a(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac \partial{\partial t} h(t, r) dr$$
Da er det lettere å gjenkjenne at: $a(t) = 0$, $b(t) = t$, og $h(t, r) = f(t-r)g(r)$, i vårt eksempel.
Dermed blir integranden på høyre side:
$$ \frac \partial{\partial t} h(t,r) = \frac{\partial f(t-r)}{\partial t} g(r) + f(t-r) \frac{\partial g(r)}{\partial t} = f^\prime (t-r) \frac{\partial (t-r)}{\partial t} g(r) = f^\prime (t-r) \cdot 1 \cdot g(r) = f^\prime (t-r) g(r)$$
Og så får vi f.eks. $h(t, b(t)) = h(t, t) = f(t-t)g(t) = f(0)g(t)$.