Jeg skal finne grensen
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} cos(f(x))[/tex],
der [tex]f(x)[/tex] er i dette tilfelle en rasjonal funksjon av polynomer.
Jeg har vist i en relatert tidligere oppgave at
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 0[/tex],
og det viser seg at, for denne [tex]f(x)[/tex], er
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} cos(f(x)) = 1[/tex].
Siden
[tex]\lim_{x \rightarrow 2} f(x) = 0[/tex] og [tex]cos(0) = 1[/tex],
dette lar meg hypotisere at
[tex]\lim_{x \rightarrow n} cos(f(x)) = cos(\lim_{x \rightarrow n} f(x))[/tex]
for alle [tex]f(x)[/tex].
Dette kan virke litt tilfeldig, men er det sant? Eller er det bare en heldig tilfelle?
Om det er sant, hvordan er det teorisert og hvordan kan jeg forklare/bevise det i oppgaven min?
Om det ikke er sant, hvordan kan jeg løse denne oppgaven?
Grense av trigonometrisk funksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Pytagoras
- Innlegg: 12
- Registrert: 03/10-2018 18:59
Dataen foreslår at dette er sant:
Takk for hjelpen!
Hvordan kan jeg forklare dette på en riktig måte i universitetsoppgaven min for å bevise at svaret til oppgaven er [tex]1[/tex]?Takk for hjelpen!
Litt kjapp googling ledet meg til dette skrivet.
Det sier at:
$$ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f \left( \lim_{x \to c} g(x) \right) $$
dersom $f$ er kontinuerlig i punktet $ \lim_{x \to c} g(x)$.
I vår eksempel, er $\lim_{x \to 2} f(x) = 0$.
Siden $\cos (x)$ er kontinuerlig i punktet $x=0$ (antar at dette er bevist i forelesning), kan vi skrive:
$$ \lim_{x \to 2} \cos (f(x)) = \cos \left( \lim_{x \to 2} f(x) \right) = \cos (0) = 1 $$
Det sier at:
$$ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f \left( \lim_{x \to c} g(x) \right) $$
dersom $f$ er kontinuerlig i punktet $ \lim_{x \to c} g(x)$.
I vår eksempel, er $\lim_{x \to 2} f(x) = 0$.
Siden $\cos (x)$ er kontinuerlig i punktet $x=0$ (antar at dette er bevist i forelesning), kan vi skrive:
$$ \lim_{x \to 2} \cos (f(x)) = \cos \left( \lim_{x \to 2} f(x) \right) = \cos (0) = 1 $$