ligning

[uni91 offline]

Hei holder på med noen oppgaver men sliter med denne:

cosx + x = 0 også skal jeg vise at denne har en løsning for 0 < x < 1

[Aleks855]

Sikker på at du har skrevet oppgaven riktig? Kan ikke se at det fins en løsning på det intervallet.

Skulle det kanskje være $-1 < x < 0$?

[uni91 offline]

hmm står 0 < x < 1 her.

Trenger ikke finne løsningen, bare vise at den eksisterer

[uni91 offline]

unnskyld skrev feil først. SKal være:

cosx - x = 0

[Kristian Saug offline]

Hei,

f(x) = cos(x) - x

f'(x) = -sin(x) - 1
f''(x) = -cos(x)
-cos(x) = 0
x = - phi/2 er altså et vendepunkt

når x går fra -phi/2 og mot minus uendelig vil f(x) gå mot pluss uendelig
når x går fra -phi/2 mot pluss uendelig vil f(x) gå mot minus uendelig

f(-phi/2) = 0 + 1,57 = 1,57 (større enn null)
Da må vi prøve med høyere x-verdier:
f(-1) = større enn 1 fordi cos(-1) er større enn 0
f(0) = 1 + 0 = 1 (større enn 0)
f(1)= mindre enn 0 fordi cos(1) er mellom 0 og 1 (og da blir f(1) mellom -1 og 0)

Dermed kan vi konkludere at x må ligge mellom 0 og 1 !
Eksakt verdi er x = 0,74 (kan løses både på Geogebra og CAS!)

[Emilga]

Siden dette er på universitetsnivå, antar jeg vi skal bruke skjæringssetningen.

Observer at $f(x) = \cos (x) - x$ er kontinuerlig.

Og at $f(0) = 1 > 0$ og $f(1) = \cos (1) - 1 < 0$

Altså finnes det en $c \in (0, 1)$ slik at $f(c) = 0$ (skjæringssetningen).