Volumregning ved hjelp av et integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Volumregning ved hjelp av et integral

Innlegg Blazethelegend » 20/09-2019 23:55

Har en oppgave jeg ikke helt klarer å få tak på:
Jeg skal finne et uttrykk for volumet av et legeme. (Vi har hatt mye med integraler i det siste, så regner med at de skal uttrykkes som et integral)
Legemet er laget ved å har en kule med radius=r, og dreie ut en sylinder med radius=b og deretter bore et hull gjennom sylinderen, hullet har radius=a. Det er bestemt av sylinderen hentes ut gjennom midten av kula.
Oppgaven vil ha volumet til dette legemet uttrykt med r, a og b

Jeg tenker på oppgaven slik: Vi har en kule som vi stikker et rør gjennom sentrum av slik at delen av kula som er inne i røret, kommer ut av kula. Deretter tar ut det vi har inne i røret, og borer gjennom det, og vi skal ha volumet av det som er igjen.
Siden endene av sylindrene hører til utsiden av kuleflaten, så sliter jeg litt.

Hadde dette vært en ren sylinder hadde dette gått lett, utregning av volumet til sylindre og ulike typer dreielegemer hadde vi mye av på videregående., men dette med endene gjør at jeg sliter.

Har prøvd med litt frem med sirkellikningen, men siden jeg ikke vet om noen kulelikning har jeg slitt med å komme noen vei med det

Har ikke noe imot å gjøre mesteparten av oppgaven selv, men skulle gjerne fått en liten pekepinn til hvordan jeg kan få laget et uttrykk som inkluderer det at endene er runde. Setter også pris på et løsningsforslag for hvordan man setter opp uttrykket, hvis noen har tid til det.

Takk for all hjelp :D
Blazethelegend offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 10
Registrert: 18/05-2016 12:42

Re: Volumregning ved hjelp av et integral

Innlegg Gustav » 21/09-2019 01:02

La kula ha sentrum i origo og la sylindrene ha lengderetning langs z-aksen. Nordlig halvkule kan uttrykkes ved $z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ (utledet fra kuleligningen $x^2+y^2+z^2=r^2$). Volumet av en sylinder med radius b<r og kuleformede ender kan nå uttrykkes ved integralet $2\int_{-b}^b \int_{-\sqrt{b^2-y^2}}^{\sqrt{b^2-y^2}} f(x,y)\,dxdy$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester