Side 1 av 1

Volumregning ved hjelp av et integral

Lagt inn: 21/09-2019 00:55
av Blazethelegend
Har en oppgave jeg ikke helt klarer å få tak på:
Jeg skal finne et uttrykk for volumet av et legeme. (Vi har hatt mye med integraler i det siste, så regner med at de skal uttrykkes som et integral)
Legemet er laget ved å har en kule med radius=r, og dreie ut en sylinder med radius=b og deretter bore et hull gjennom sylinderen, hullet har radius=a. Det er bestemt av sylinderen hentes ut gjennom midten av kula.
Oppgaven vil ha volumet til dette legemet uttrykt med r, a og b

Jeg tenker på oppgaven slik: Vi har en kule som vi stikker et rør gjennom sentrum av slik at delen av kula som er inne i røret, kommer ut av kula. Deretter tar ut det vi har inne i røret, og borer gjennom det, og vi skal ha volumet av det som er igjen.
Siden endene av sylindrene hører til utsiden av kuleflaten, så sliter jeg litt.

Hadde dette vært en ren sylinder hadde dette gått lett, utregning av volumet til sylindre og ulike typer dreielegemer hadde vi mye av på videregående., men dette med endene gjør at jeg sliter.

Har prøvd med litt frem med sirkellikningen, men siden jeg ikke vet om noen kulelikning har jeg slitt med å komme noen vei med det

Har ikke noe imot å gjøre mesteparten av oppgaven selv, men skulle gjerne fått en liten pekepinn til hvordan jeg kan få laget et uttrykk som inkluderer det at endene er runde. Setter også pris på et løsningsforslag for hvordan man setter opp uttrykket, hvis noen har tid til det.

Takk for all hjelp :D

Re: Volumregning ved hjelp av et integral

Lagt inn: 21/09-2019 02:02
av Gustav
La kula ha sentrum i origo og la sylindrene ha lengderetning langs z-aksen. Nordlig halvkule kan uttrykkes ved $z=f(x,y)=\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ (utledet fra kuleligningen $x^2+y^2+z^2=r^2$). Volumet av en sylinder med radius b<r og kuleformede ender kan nå uttrykkes ved integralet $2\int_{-b}^b \int_{-\sqrt{b^2-y^2}}^{\sqrt{b^2-y^2}} f(x,y)\,dxdy$