Parsevals identitet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Parsevals identitet

Innlegg Gjest123 » 21/09-2019 12:33

Forsøker å løse denne oppgaven
https://imgur.com/a/ZlocLwo
men forstår ikke helt måten som er brukt til å uttrykke f(x).
Ser jo at det er en sum, men skjønner ikke helt hva det etterpå betyr.
Gjest123 offline

Re: Parsevals identitet

Innlegg Gustav » 21/09-2019 20:21

$\mathbb{1}_{[-\pi,\pi)} (x-2n\pi)$ er indikatorfunksjonen som er lik 1 for alle $(x-2n\pi)\in [-\pi,\pi)$ og 0 ellers. Ser vi f.eks. på intervallet $x\in [-\pi,\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar til funksjonen i dette intervallet, være leddet som svarer til n=0. Dermed er $f(x)=x^2$ på $[-\pi,\pi)$. Betrakter vi på den annen side intervallet $[\pi,3\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar være n=1, så $f(x)=(x-2\pi)^2$ dersom $x\in [\pi,3\pi)$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Parsevals identitet

Innlegg Gjest123 » 22/09-2019 15:29

Gustav skrev:$\mathbb{1}_{[-\pi,\pi)} (x-2n\pi)$ er indikatorfunksjonen som er lik 1 for alle $(x-2n\pi)\in [-\pi,\pi)$ og 0 ellers. Ser vi f.eks. på intervallet $x\in [-\pi,\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar til funksjonen i dette intervallet, være leddet som svarer til n=0. Dermed er $f(x)=x^2$ på $[-\pi,\pi)$. Betrakter vi på den annen side intervallet $[\pi,3\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar være n=1, så $f(x)=(x-2\pi)^2$ dersom $x\in [\pi,3\pi)$


Okei, takk for oppklaringen.
Men forstår ikke helt hvordan jeg skal bruke Parsevals.
Ser at definisjonen er [tex]\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx[/tex], men kommer ikke stort lengre med det.
Gjest123 offline

Re: Parsevals identitet

Innlegg Gjest123 » 22/09-2019 16:26

Gjest123 skrev:
Gustav skrev:$\mathbb{1}_{[-\pi,\pi)} (x-2n\pi)$ er indikatorfunksjonen som er lik 1 for alle $(x-2n\pi)\in [-\pi,\pi)$ og 0 ellers. Ser vi f.eks. på intervallet $x\in [-\pi,\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar til funksjonen i dette intervallet, være leddet som svarer til n=0. Dermed er $f(x)=x^2$ på $[-\pi,\pi)$. Betrakter vi på den annen side intervallet $[\pi,3\pi)$ vil det eneste leddet i summen som bidrar være n=1, så $f(x)=(x-2\pi)^2$ dersom $x\in [\pi,3\pi)$


Okei, takk for oppklaringen.
Men forstår ikke helt hvordan jeg skal bruke Parsevals.
Ser at definisjonen er [tex]\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx[/tex], men kommer ikke stort lengre med det.


Okei okei, så med hjelp i det du skrev - og en del tid på google - har jeg kommet frem til følgende løsning. Får da rett svar men usikker på om fremgangsmåten er utført korrekt.
Bruker da som du sa at [tex]f(x)=x^2[/tex] på [tex]x\in [-\pi,\pi)[/tex], og ignorerer resten.

finner fourier-koeffisientene [tex]a_n[/tex] og [tex]a_0[/tex]
[tex]a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3}[/tex]
[tex]a_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2e^{inx}dx=\frac{2\cos(\pi n)}{n^2}=2\frac{(-1)^n}{n^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow |a_n|=\frac{4}{n^4}, |a_0|=\frac{\pi^4}{9}[/tex]

Bruker parsevals identitet
[tex]2|a_n|+\sum a_n^2=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2dx[/tex]

[tex]2 \frac{\pi^4}{9}+16\sum \frac{1}{n^4}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac{2\pi^4}{5}[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}[/tex]
Gjest123 offline

Re: Parsevals identitet

Innlegg Gustav » 22/09-2019 23:12

Ser riktig ut :D
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 6 gjester