matematikk.net

Hei

Sliter med ei oppgave i 4. utgaven av kalkulus, oppgave 9.5.7:

Finn verdien til a>0 slik at integralet
[tex]\int_{0}^{\infty} cos(x)\cdot e^{-ax} dx[/tex]
får maksimal verdi. Finn denne verdien.

-Ved å bruke en graftegner har jeg funnet ut av at a=1 og maksverdi = 1/2.
-Jeg har også klart ved delvis integrasjon å komme frem til et uttrykk som jeg kan sette a=1 inn i og få ut at integralet blir 1/2.
-Ved å se på at a går mot 0 ser jeg at da vil funskjonen gå mot cos(x), som har areal lik 0 under grafen når x går mot uendelig.
-Ved å se på at a går mot uendelig kan jeg se at da vil funksjonen gå mot 0, og arealet vil også gå mot 0

Jeg klarer derimot ikke å finne en matematisk måte å bevise at a=1. Er det noen som kan hjelpe med det?

Takk for hjelp på forhånd

Vi kan løse integralet eksplisitt (bruk delvis integrasjon to ganger), slik at vi får:

$$ I(a) = \int_0^\infty \cos (x) e^{-ax} dx = \frac a{a^2 + 1} $$

Siden integralet er en funksjon av $a$, vet vi at den har sin maks-verdi når den deriverte med hensyn på $a$ er null:

$$\frac{dI}{da} = \frac{1 - a^2}{(a^2 + 1)^2} $$

Som er lik null for $a=1$.