"Ulovlig" operasjon under løsning av andregradspolynomer?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

"Ulovlig" operasjon under løsning av andregradspolynomer?

Innlegg pederlh » 28/09-2019 15:01

Hei!
Jeg lurer på hvorfor man kan skrive [tex]\sqrt{-4}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{4}=2i[/tex], når egenskapen [tex]\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}[/tex] bare gjelder for reelle tall [tex]a, b \geq 0[/tex].

Bruker en abc-ligningen for å løse [tex]x^2- x +1 = 0[/tex] får en [tex]x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1} = \frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}[/tex], men setter man dette likt [tex]\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}[/tex] får man de riktige løsningene [tex]x=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt 3 i}{2}[/tex]. Noen som kan si hva det er som gjør dette mulig?
pederlh offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 18/09-2019 13:41

Re: "Ulovlig" operasjon under løsning av andregradspolynomer

Innlegg DennisChristensen » 01/10-2019 17:31

Ettersom $(2i)^2 = 4i^2 = -4,$ har vi at $\sqrt{-4} = 2i$. Vi bruker aldri egenskapen du nevner her.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 782
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: "Ulovlig" operasjon under løsning av andregradspolynomer

Innlegg Kristian Saug » 01/10-2019 17:53

Pr definisjon er i^2 = -1

Som eksempel på hvor dette brukes i praksis, kan nevnes:

Hvis den karakteristiske likningen til en 2.grads differensiallikning ikke har reelle løsninger (dvs roten av negativt tall oppstår), benyttes i^2 = -1.
Med påfølgende løsning. R2-matematikk på videregående.
Kristian Saug offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 48 gjester