Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

Innlegg Skanin » 03/10-2019 21:47

Hei, jeg er helt stuck på en oppgave.

Tror jeg har fått til a):
Viser at [tex]D[/tex] er en lineærtransformasjon
[tex]\begin{align*}
&D(p + \hat{p}) = (p + \hat{p})' = p' + \hat{p}'
\\
&D(p) + D(\hat{p}) = p' + \hat{p}'
\\
\\
&D(cp) = (cp)' = cp'
\\
&cD(p) = cp'
\end{align*}[/tex]

Viser at [tex]G[/tex] er en lineærtransformasjon:
[tex]\begin{align*}
&G(p+\hat{p}) = x(p(x) + \hat{p}(x)) = q
\\
&G(p) + G(\hat{p}) = x(p(x)) + x(\hat{p}(x)) = x(p(x) + \hat{p}(x)) = q
\\
\\
&cG(p) = cq = cxp(x)
\\
&G(cp) = cxp(x)
\end{align*}[/tex]

Men har virkelig ikke peiling på hvordan jeg skal angripe b). Noen som kan hjelpe meg på vei? Min første tanke er å finne en standardmatrise, slik at jeg kan finne kolonnerom og nullrom, men skjønner ikke hvordan jeg gjør det når jeg ikke har matriser som input. Vanligvis ville jeg jo satt inn enhetsvektorene som input og brukt output som kolonner i standardmatrisen, men det funker vel dårlig med polynomer?

Bilde
Skanin offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 90
Registrert: 02/03-2015 17:02
Bosted: Trondheim

Re: Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

Innlegg Gustav » 04/10-2019 00:05

b) Her vil fremgangsmåten bestå i at man må tenke på hvordan polynomene avbildes av D og G.

Kjernen til D er mengden av alle konstante polynomer. Bildet til D er hele $\mathcal{P}$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

Innlegg Skanin » 04/10-2019 09:04

Gustav skrev:b) Her vil fremgangsmåten bestå i at man må tenke på hvordan polynomene avbildes av D og G.

Kjernen til D er mengden av alle konstante polynomer. Bildet til D er hele $\mathcal{P}$.


Med konstante polynomer, tenker du da på f.eks $c_1 + c_2 + c_3$ siden dette derivert blir $0$? Og fant du at bildet til $D$ er hele $\mathcal{P}$ fordi vi kan få alle mulige polynomer ved å bruke $D$?
Skanin offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 90
Registrert: 02/03-2015 17:02
Bosted: Trondheim

Re: Lineærtransformasjon av polynomer (kjerne og bilde)

Innlegg Gustav » 04/10-2019 14:01

Skanin skrev:Med konstante polynomer, tenker du da på f.eks $c_1 + c_2 + c_3$ siden dette derivert blir $0$? Og fant du at bildet til $D$ er hele $\mathcal{P}$ fordi vi kan få alle mulige polynomer ved å bruke $D$?


Ja, det stemmer. Mer detaljert bevis ved motsigelse: Anta det fins et polynom $p(x)$ som er med i kjernen til D, men som ikke er konstant. Da kan vi skrive $p(x)=a_nx^n+q(x)$ der $q(x)$ er et polynom av orden $<n$, $a_n\neq 0$ og $n>0$. Da blir $D(p)=na_nx^{n-1}+r(x)$ der $r(x)$ har orden $< n-1$. For at dette skal bli identisk lik 0 må $a_n=0$ (siden $\{x^k: k\in \mathbb{N}\}$ er lineært uavhengig i $\mathbb{R}[x]$), noe som er en motsigelse.

La $q(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$ være et vilkårlig polynom i $\mathcal{P}$. Da er $D (\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}) = q(x)$ så for ethvert element i kodomenet fins et element i domenet som avbildes til dette. Dermed er bildet til $D$ hele $\mathcal{P}$.

Edit: Det var en feil i det opprinnelige svaret der det ble brukt inversen til D, men denne eksisterer ikke da D ikke er injektiv.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 17 gjester