Nullpunkt

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Nullpunkt

Innlegg mattehjelp24 » 05/10-2019 18:32

Hei! Jeg sliter grådig med denne her

[tex]f(x)=2x^3 +x^2 -4x-2+cosx[/tex]

a) Bevis at f'''(x)>0 og at f''(x) har nøyaktig et nullpunkt a. Dette har jeg gjort da f'''(x)=sinx+12>0. Dette medfører at f'' er strengt stigende og kun vil ha et nullpunkt a.

b) Bevis at f' har nøyaktig to nullpunkt og vil synke strengt på [tex](-inf,a)[/tex] og vokse strengt på [tex](a,inf)[/tex].

Her sliter jeg og det stopper opp. For jeg kan ikke løse ligningen f''(x)=0, men må gjøre noe annet. Tipper det har noe med IVT og MVT å gjøre, men er ikke så flink til å bruke disse, så skjønner ikke hvordan jeg i så fall skal bruke dem.

c) Bevis at f(x) har nøyaktig tre nullpunkt.

Klarer heller ikke denne.
mattehjelp24 offline

Re: Nullpunkt

Innlegg Emilga » 06/10-2019 20:42

a) Bevis at f'''(x)>0 og at f''(x) har nøyaktig et nullpunkt a. Dette har jeg gjort da f'''(x)=sinx+12>0. Dette medfører at f'' er strengt stigende og kun vil ha et nullpunkt a.


Husk at $f^{\prime \prime \prime} > 0$ betyr at $f^{\prime \prime}$ har maks ett nullpunkt, men ikke nødvendigvis at den har et nullpunkt. (Moteksempel: $g(x) = e^x$, der $g^{\prime \prime \prime} > 0$, men $g^{\prime \prime}$ skjærer aldri x-aksen!)

For å vise at $f^{\prime \prime}$ faktisk har et nullpunkt bruker vi skjæringssetningen/mellomverdisetningen:

Siden $f^{\prime \prime}$ er kontinuerlig, og siden
$$f^{\prime \prime}(-1) = -12 + 2 - \cos (-1) = -10 - \cos (-1) < 0$$
Og siden
$$f^{\prime \prime}(1) = 12 + 2 - \cos(1) = 14 - \cos(1) > 0$$
Vet vi at det må finnes en $a \in (-1, 1)$, slik at $f^{\prime \prime}(a) = 0$.


b) Bevis at f' har nøyaktig to nullpunkt og vil synke strengt på (−inf,a) og vokse strengt på (a,inf).


At $f^\prime$ synker for $x<a$ og stiger for $x>a$ vet vi allerede fra deloppgave a), der vi fant fortegnet for $f^{\prime \prime}$ (dvs. $f^{\prime \prime}<0$ når $x<a$ og $f^{\prime \prime} > 0$ når $x>a$.)

For å vise at $f^{\prime}$ har to skjæringspunkt, må vi finne noen x-verdier der $f^{\prime}$ har forskjellig fortegn. Siden $f^\prime$ er kontinuerlig vet vi at den da må skjære x-aksen.

$$f^\prime (-1) = 6 - 2 - 4 - \sin (-1) = - \sin (-1) = \sin (1) > 0$$

$$f^\prime (0) = -4 < 0 $$

$$f^\prime (1) = 6 + 2 - 4 - \sin (1) = 4 - \sin (1) > 0 $$

Altså vet vi at $f^\prime$ har et nullpunkt mellom $x = -1$ og $ x = 0$, og et nullpunkt mellom $x = 0$ og $x = 1$.


c) Bevis at f(x) har nøyaktig tre nullpunkt.

Klarer heller ikke denne.


Samme fremgangsmåte som i b). Regn ut $f(x)$ for $x=-2, -1, 0, 1$ og bruk skjæringssetningen/mellomverdisetningen.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1413
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester