Induksjon:
1[sup]2[/sup]+3[sup]2[/sup]+5[sup]2[/sup]+.......+(2n-1)[sup]2[/sup]
= (n(2n-1)(2n+)) / (3)
induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
hehe, glemte å skrive at poenget var selvfølgelig å bevise at dette er sant ved hjelp av matematisk induksjon 
Det er ett eksempel i boka som forklarer matematisk induksjon, men det er mye enklere enn dette.. 1+2+3+4 istedenfor 1[sup]2[/sup] osv.. blir litt usikker på hvordan jeg skal gjøre det da. Utrolig, men sant:)
Det er ett eksempel i boka som forklarer matematisk induksjon, men det er mye enklere enn dette.. 1+2+3+4 istedenfor 1[sup]2[/sup] osv.. blir litt usikker på hvordan jeg skal gjøre det da. Utrolig, men sant:)
Bevis at for alle n større eller lik 1 ved å bruke prinsippet matematisk induksjon er spørsmålet.Candela skrev:Hadde du giddi å formulere spørsmålet på nytt?
vi har at S_n(1^2 + 3^2 + 5^2 + (2n-1)^2) = ((n(2n-1)(2n+?))/3
Hva skal jeg erstatte ?, og hva skal bevises?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi skal bevise at
(1) 1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2n - 1)[sup]2[/sup] = n(2n - 1)(2n + 1)/3.
* Basis for induksjonen: n=1 gir 1*(2*1 - 1)(2*1 + 1)/3 = 1*1*3/3 = 1 = 1[sup]2[/sup]. M.a.o. stemmer formelen (1) for n=1
* Induksjonstrinnet: Anta at formelen (1) stemmer for n=k. Denne induksjonsantagelsen medfører at
1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2k- 1)[sup]2[/sup] + (2k + 1)[sup]2[/sup]
= k(2k - 1)(2k + 1)/3 + (2k + 1)[sup]2[/sup]
= (2k + 1)[k(2k - 1) + 3(2k + 1)]/3
= (2k + 1)(2k[sup]2[/sup] - k + 6k + 3)/3
= (2k + 1)(2k[sup]2[/sup] + 5k + 3)/3
= (2k + 1)(k +1)(2k + 3)/3
= (k+1)[2(k + 1) - 1][2(k + 1) + 1]/3,
så formelen (1) stemmer for n=k+1. Dermed har vi bevist at formelen (1) gjelder for alle naturlige tall n.
(1) 1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2n - 1)[sup]2[/sup] = n(2n - 1)(2n + 1)/3.
* Basis for induksjonen: n=1 gir 1*(2*1 - 1)(2*1 + 1)/3 = 1*1*3/3 = 1 = 1[sup]2[/sup]. M.a.o. stemmer formelen (1) for n=1
* Induksjonstrinnet: Anta at formelen (1) stemmer for n=k. Denne induksjonsantagelsen medfører at
1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2k- 1)[sup]2[/sup] + (2k + 1)[sup]2[/sup]
= k(2k - 1)(2k + 1)/3 + (2k + 1)[sup]2[/sup]
= (2k + 1)[k(2k - 1) + 3(2k + 1)]/3
= (2k + 1)(2k[sup]2[/sup] - k + 6k + 3)/3
= (2k + 1)(2k[sup]2[/sup] + 5k + 3)/3
= (2k + 1)(k +1)(2k + 3)/3
= (k+1)[2(k + 1) - 1][2(k + 1) + 1]/3,
så formelen (1) stemmer for n=k+1. Dermed har vi bevist at formelen (1) gjelder for alle naturlige tall n.
Ahh.. nå ser jeg hvorfor jeg ikke fikk rett svar. Mitt utgangspunkt var:
1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2k- 1)2 + (k+1)[sup]2[/sup]. Ikke rart ingenting stemte.
Så hvis f.eks 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2) = et eller annet, så hadde jeg måtte erstattet alle k med ... (n[sup]2[/sup] +2n) i brøken bak = ?
Ser liksom ikke helt hva som avgjør hva som skal adderes på begge sidene av = 
Virker som det er helt tilfeldig slik jeg ser d 
Prøver bare å se en sammenheng her:P Eneste eksempelet i boka tar for seg 1+2+3+...+ n, der k erstattes med k+1.
Sorry hvis jeg spør dumt
1[sup]2[/sup] + 3[sup]2[/sup] + ... + (2k- 1)2 + (k+1)[sup]2[/sup]. Ikke rart ingenting stemte.
Så hvis f.eks 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2) = et eller annet, så hadde jeg måtte erstattet alle k med ... (n[sup]2[/sup] +2n) i brøken bak = ?
Ser liksom ikke helt hva som avgjør hva som skal adderes på begge sidene av = Virker som det er helt tilfeldig slik jeg ser d Prøver bare å se en sammenheng her:P Eneste eksempelet i boka tar for seg 1+2+3+...+ n, der k erstattes med k+1.
Sorry hvis jeg spør dumt