Ligninger og skjæringssetningen

[nubematte123 offline]

Heia, om noen kunne hjulpet meg med disse to?

La følgende likning som forbinder x og y være gitt
[tex](1+x)^\frac{1}{3}(x-y^2)-xy+y^3=0[/tex]

a)Vis ved å bruke skjæringssetningen at det finnes et punkt (x0 = 3, y0), med 1< y0 < 1,6, som løser likningen.
b)Finn en numerisk tilnærming til y0 med fire desimalers nøyaktighet ved å bruke Newtons regel.

[Nebuchadnezzar]

Tja, hva har du tenkt selv? Vet du hva skjæringssetningen sier? Anbefaler deg å se videoen før du leser videre, den forklarer det med stor te-skje =)

https://www.youtube.com/watch?v=ANT-CdnDzZA

La $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ være en kontinuerlig funksjon og $d$ være et reelt tall mellom $f(a)$ og $f(b)$. Da eksisterer et tall $c \in (a,b)$ slik at $f(c)=d$.

Men med ord forteller skjæringssetningen oss at en reell kontinuerlig funksjon $f$ definert på et lukket intervall fra $a$ til $b$ vil treffe alle verdier mellom $f(a)$ og $f(b)$.

Hva skjer dersom $f(a)>0$ og $f(b)<0$? Jo, skjæringssetningen sier jo at funksjonen $f$ tar alle verdier mellom $f(a)$ og $f(b)$. Sagt med andre ord dersom du
begynner i ett punkt over $x$-aksen og skal tegne en strek til ett punkt under $x$-aksen må du nødvendigvis passere $x$-aksen minst en gang. Se her for ett eksempel

https://wiki.math.ntnu.no/tma4100/tema/ ... ullpunkter

Du kan gjøre akkuratt det samme som i eksempelet ved å sette inn tallene du har.

b) For å bruke newtons metode så setter du først inn $x = 3$ også bruker du newtons metode, altså

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Hvor $f$ da er funksjonen du skrev opp, bare med $x$ byttet ut med $3$, hvor du nå må passe på at du deriverer med hensyn på $y$ og ikke $x$.
Du kan finne maaange eksempler på Newtons metode om du søker litt rundt på nettet. For eksempel forklarer de 26 første lysbildene det ganske greit her

https://wiki.math.ntnu.no/_media/tma410 ... -09-20.pdf

Har du noen flere spørsmål eller lurer på noe mer så bare kjør på, jeg svarer gledelig. Men jeg løser dessverre ikke innleveringen 2 i brukerkurs i matematikk på UiT for deg Vis hva du har prøvd og tenkt, så hjelper vi deg når det stopper opp.