Side 1 av 1
Solve the initial-value problem
Lagt inn: 18/02-2006 11:30
av Gjest
Solve the initial-value problem y'' - k[sup]2[/sup]y = 0, y(a) = y[sub]0[/sub], y'(a) = v[sub]0[/sub]. Express the solution in terms of the function hL,M(x) = L*cosh(k(x-a)) + M*sinh(k(x-a)).
Hjelp ønskes.
Lagt inn: 18/02-2006 13:34
av Heisenberg
Hei,-
y''-k[sup]2[/sup]=0
Annen ordens lineær diff.likning med karakteristisk pol.
p(r)=r^2-k^2
p(r)=0 gir r=pluss/minus k
Dermed kan den generelle løsningen til diff. likningen skrives
y(x)=Ae^(kx)+Be^(-kx) (1)
A og B bestemmes fra initialbetingelsene.
y(a)=Ae^(ka)+Be^(-ka)=y_0
y'(a)=Ake^(ka)-Bke^(-ka)=v_0
Dette likningssystemet har løsningen
A=((ky_0+v_0)/(2k))*e^(-ka)
B=((ky_0-v_0)/(2k))*e^(ka)
Sett dette inn i (1) ovenfor og bruk definisjonen for cosh og sinh, så får
du skrevet løsningen på formen du ønsker.
Lagt inn: 18/02-2006 17:54
av Gjest
"Sett dette inn i (1) ovenfor og bruk definisjonen for cosh og sinh, så får
du skrevet løsningen på formen du ønsker."
Det er kanskje det jeg sliter mest med! Mye tricksy omgjøring.
Takk så langt!
Lagt inn: 18/02-2006 18:36
av Heisenberg
OK
Fortsettelse:
y(x)= ((ky_0+v_0)/(2k))e^(kx-ka)+((ky_0-v_0)/(2k))e^(-kx+ka)
= y_0((e^(k(x-a))+e^(-k(x-a))/2)+(v_0/k)*((e^(k(x-a))-e^(-k(x-a)))/2)
= y_0 cosh(k(x-a)+(v_0/k) sinh(k(x-a))
Dette er lik h(x) med L=y_0 og M=v_0/k.
Det ble forbasket knotete med alle parantesene men jeg tror det er
mulig å forstå hva som skjer der.
Lagt inn: 18/02-2006 20:08
av Gjest
Åiåi, takker! Nå skjønte jeg det, var veldig greit å følge utregningen din også, toppers!