Jeg skal løse følgende diff.likn.
y'' + y' - 2y = 1.
Den homogene likningen har løsning
y = Ae[sup]-2t[/sup] + Be[sup]t[/sup]
Men hva i allverden skal jeg så gjøre?
Diff. likn.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Siden denne likningen er inhomogen trenger du også en partikulær løsning.
Her gjetter du på en konstant siden det er det som gjør likningen inhomogen.
y [sub]p[/sub]=C
y'[sub]p[/sub]=0
y"[sub]p[/sub]=0
Setter så dette inn i likningen og får -2C=1→C=-1/2
Da er den totale løsningen gitt ved summen av den partikulære og den homogene løsningen.
y=Ae [sup]-2t[/sup]+Be[sup]t[/sup]-1/2
Her gjetter du på en konstant siden det er det som gjør likningen inhomogen.
y [sub]p[/sub]=C
y'[sub]p[/sub]=0
y"[sub]p[/sub]=0
Setter så dette inn i likningen og får -2C=1→C=-1/2
Da er den totale løsningen gitt ved summen av den partikulære og den homogene løsningen.
y=Ae [sup]-2t[/sup]+Be[sup]t[/sup]-1/2
-
Stein Kristian
Åja, takk!
Men hva med denne
y'' + y' - 2y = 20cos(2t)
Den har jo samme homogen løsning som forrige, men når det gjelder den partikulære skal det visst lønne seg å velge y[sub]P[/sub] = C*cos(ct) + D*sin(ct). Skal jeg bare sette c= 2 så er det i boks? I og med at jeg ikke har noen betingelser kan jeg vel ikke bestemme alle disse andre konstantene?
Men hva med denne
y'' + y' - 2y = 20cos(2t)
Den har jo samme homogen løsning som forrige, men når det gjelder den partikulære skal det visst lønne seg å velge y[sub]P[/sub] = C*cos(ct) + D*sin(ct). Skal jeg bare sette c= 2 så er det i boks? I og med at jeg ikke har noen betingelser kan jeg vel ikke bestemme alle disse andre konstantene?
-
Heisenberg
- Cayley
- Innlegg: 96
- Registrert: 23/01-2006 23:03
- Sted: Oslo
Sett lille c lik 2, og finn C og D ved å derivere og sette inn i diff.likningen.
Du skal ikke ha ubestemte konstanter i partikulær løsningen. Initialbetingelser/randbetingelser oppfylles fra konstantene i den
homogene løsningen.
Lykke til!
Du skal ikke ha ubestemte konstanter i partikulær løsningen. Initialbetingelser/randbetingelser oppfylles fra konstantene i den
homogene løsningen.
Lykke til!
-
Heisenberg
- Cayley
- Innlegg: 96
- Registrert: 23/01-2006 23:03
- Sted: Oslo
Da krever du konstantene foran sinus leddet til
aa bli null, det er fordi det ikke er noen sinus ledd paa hoyresida.
Samtidig krever du konstantene foran cos leddet til aa vere
lik 20, siden det er 20cos(2t) paa hoyresida. Dette gir deg
to likninger med to ukjente
2D-6D=0
2D-6C=20
Hmm..Ble du noe klokere av det
aa bli null, det er fordi det ikke er noen sinus ledd paa hoyresida.
Samtidig krever du konstantene foran cos leddet til aa vere
lik 20, siden det er 20cos(2t) paa hoyresida. Dette gir deg
to likninger med to ukjente
2D-6D=0
2D-6C=20
Hmm..Ble du noe klokere av det
-
Stein Kristian
Det skal være (2D-6C)*cos(2t) + (2C-6D)*sin(2t) = 20*cost(2t), da blir det ikke så lett å få det til.
-
Heisenberg
- Cayley
- Innlegg: 96
- Registrert: 23/01-2006 23:03
- Sted: Oslo
Jeg tror du har gjort en feil under innsettingen. y under
refererer til partikulærløsningen
y(t)=Bcos(2t)+Csin(2t)
y'(t)=-2Bsin(2t)+2Ccos(2t)
y''(t)=-4Bcos(2t)-4Csin(2t)
Innsatt i likningen
-4Bcos(2t)-4Csin(2t)-2Bsin(2t)+2Ccos(2t)-2Bcos(2t)-2Csin(2t)=20cos(2t)
(-4B+2C-2B)cos(2t)+(-4C-2C-2B)sin(2t)=20cos(2t)
det gir likningssystemet
-6B+2C=20
-6C-2B=0
som har løsninger B=-3, C=1
refererer til partikulærløsningen
y(t)=Bcos(2t)+Csin(2t)
y'(t)=-2Bsin(2t)+2Ccos(2t)
y''(t)=-4Bcos(2t)-4Csin(2t)
Innsatt i likningen
-4Bcos(2t)-4Csin(2t)-2Bsin(2t)+2Ccos(2t)-2Bcos(2t)-2Csin(2t)=20cos(2t)
(-4B+2C-2B)cos(2t)+(-4C-2C-2B)sin(2t)=20cos(2t)
det gir likningssystemet
-6B+2C=20
-6C-2B=0
som har løsninger B=-3, C=1
