integral regning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

integral regning

Innlegg cath » 06/11-2019 09:24

er det noen som kan hjelpe meg med denne oppgaven - står heilt fast. På forhånd tusen takk

a) Regn ut volumet til omdreiningslegemet som forekommer når kurven til y = e^x + e^-x roterer om x-aksen en gang i intervallet 0 ≤ x ≤ ln 2.
b) Regn ut volumet generert med omreiningen av arealet bestemt med koordinataksene og kurven y=e^x for y∈[0,e] rundt linjen x=1.
cath offline

Re: integral regning

Innlegg Mattegjest » 06/11-2019 10:40

Legg eit snitt vinkelrett x-aksen i avstand x frå origo.

Snittflata A( x ) = [tex]\pi[/tex] y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex]( e[tex]^{x}[/tex] + e[tex]^{-x}[/tex])[tex]^{2}[/tex]

Omdreiingslegemet har volumet

V = [tex]\int_{0}^{ln2}[/tex] A( x ) dx

b) Dreiing kring linja x = 1

Her må vi integrere langs y-aksen.

y = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = lny

Snittflata vinkelrett y-aksen har radius

r( y ) = 1 - lny

Snittflata A ( y ) = [tex]\pi[/tex]( 1 - lny )[tex]^{2}[/tex]



Omdreiingslekamen har volum V =[tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy

I tillegg må vi ta med volumet avsylinder med radius( r ) = høgda( h ) = 1
V( sylinder ) = [tex]\pi[/tex]

Samla volum V[tex]_{sum}[/tex] = pi + [tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy
Mattegjest offline

Re: integral regning

Innlegg Kristian Saug » 06/11-2019 11:13

Hei,

Løsningsforslag for oppg a)
Men regn først selv!

y = e^x + e^-x og roterer om x-aksen en gang i intervallet 0 ≤ x ≤ ln 2.

Vi får
V = π Integral(y^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^x + e^-x)^2, 0, ln(2))
= π Integral((e^(2x) + 2 + e^(-2x)), 0, ln(2))
= π [(1/2) e^(2x) + 2x - (1/2) e^(-2x), 0, ln(2)]
= π ((1/2) e^(2 ln(2)) + 2 ln(2) - (1/2) e^(-2 ln(2)) - ((1/2) e^(0) + 2*0 - (1/2) e^(0))
= π ((1/2)4 + 2 ln(2) - (1/2)1/4 - 0
= π (2 - 1/8 + 2 ln(2))
= π (15/8 + 2 ln(2))
Kristian Saug offline

Re: integral regning

Innlegg josi » 06/11-2019 13:49

[tex][/tex]
Mattegjest skrev:Legg eit snitt vinkelrett x-aksen i avstand x frå origo.

Snittflata A( x ) = [tex]\pi[/tex] y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\pi[/tex]( e[tex]^{x}[/tex] + e[tex]^{-x}[/tex])[tex]^{2}[/tex]

Omdreiingslegemet har volumet

V = [tex]\int_{0}^{ln2}[/tex] A( x ) dx

b) Dreiing kring linja x = 1

Her må vi integrere langs y-aksen.

y = e[tex]^{x}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] x = lny

Snittflata vinkelrett y-aksen har radius

r( y ) = 1 - lny

Snittflata A ( y ) = [tex]\pi[/tex]( 1 - lny )[tex]^{2}[/tex]



Omdreiingslekamen har volum V =[tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy

I tillegg må vi ta med volumet avsylinder med radius( r ) = høgda( h ) = 1
V( sylinder ) = [tex]\pi[/tex]

Samla volum V[tex]_{sum}[/tex] = pi + [tex]\int_{1}^{e}[/tex] A y ) dy

Man får et litt lettere integral å håndtere hvis man summerer sylinderskall rundt aksen x=1 og sylindrenes radius varierer fra 0 til 1:

[tex]2\pi\int_{0}^{1}[/tex](1-x)e^xdx
josi offline

Re: integral regning

Innlegg Mattegjest » 06/11-2019 16:24

Elegant løysing !
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester