Komplekse eksponenter

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Komplekse eksponenter

Innlegg Frævik » 06/11-2019 15:32

Hei. I lærebøkene mine står det ingenting om komplekse eksponenter i en potens. Hva (og enda viktigere, hvorfor?) blir f.eks. [tex]2^i[/tex]?
Takk.
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 20
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Komplekse eksponenter

Innlegg Kay » 06/11-2019 15:54

Av definisjonen for ikke-rasjonale eksponenter har vi at [tex]x^z = e^{z\log x}[/tex].

Vanligvis når grunntallet er helt positivt heltall kan vi like gjerne skrive at

[tex]2^i = e^{i\log2}=\cos(\log2)+i\sin(\log2)[/tex]

Dette følger fra eulers formel [tex]e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex]

Ser vi derimot på grunntallet som et komplekst tall kan vi skrive det som

[tex]2^i=e^{i\log2-2\pi k}=e^{-2k\pi}\cos(\log2)+ie^{-2k\pi}\sin(\log2)[/tex], for en eller annen [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]. Dette stammer fra det at fordi eksponensialfunksjonen er en invers av logaritmefunksjonen er logaritmene unike opp til en heltallsmultippel av [tex]2\pi i[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 559
Registrert: 13/06-2016 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 67 gjester