matematikk.net

Hei. I lærebøkene mine står det ingenting om komplekse eksponenter i en potens. Hva (og enda viktigere, hvorfor?) blir f.eks. [tex]2^i[/tex]?
Takk.

Av definisjonen for ikke-rasjonale eksponenter har vi at [tex]x^z = e^{z\log x}[/tex].

Vanligvis når grunntallet er helt positivt heltall kan vi like gjerne skrive at

[tex]2^i = e^{i\log2}=\cos(\log2)+i\sin(\log2)[/tex]

Dette følger fra eulers formel [tex]e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)[/tex]

Ser vi derimot på grunntallet som et komplekst tall kan vi skrive det som

[tex]2^i=e^{i\log2-2\pi k}=e^{-2k\pi}\cos(\log2)+ie^{-2k\pi}\sin(\log2)[/tex], for en eller annen [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]. Dette stammer fra det at fordi eksponensialfunksjonen er en invers av logaritmefunksjonen er logaritmene unike opp til en heltallsmultippel av [tex]2\pi i[/tex]