Derivasjon av komplekse funksjoner

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Derivasjon av komplekse funksjoner

Innlegg Frævik » 12/11-2019 18:46

Jeg har av ren nysgjerrighet i det siste sett en del på komplekse tall, og har tenkt å bevege meg litt inn i kompleks analyse. Jeg går imidlertid videregående og har derfor ingen lærebøker e.l. hvor jeg kan lese om dette. Nå har jeg sett på og prøvd å derivere funksjonen [tex]f(x)=x^i[/tex], jeg har (som dere har foreslått før) prøvd omskrivinger som [tex]f(x)=(e^{ln x})^i[/tex], men uten resultat. Prøvde nemlig f.eks. definisjonen av den deriverte: [tex]\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(e^{{ln}({x+\Delta x})})^i-(e^{lnx})^i}{\Delta x}[/tex], men her ble jeg sittende fast. Prøvde også kjerneregelen, men den imaginære enheten er alltid i veien.
Som nevnt er dette ikke lekse e.l., kun av ren nysgjerrighet, så dere gjør ikke leksene for meg eller noe slikt.
Tusen takk for hjelpen.
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 27
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Derivasjon av komplekse funksjoner

Innlegg Emilga » 12/11-2019 21:11

Jeg vil absolutt anbefale deg å skaffe deg en lærebok, eller å gå gjennom Khan Academy sine videoer, eller se på YouTube-forelesninger e.l.

Før man lærer derivasjon av komplekse funksjoner, har man gjerne gått gjennom hvordan man deriverer reelle funksjon litt mer grundig enn hva som gjøres på VGS.

Vi fortsetter med Janhaas tips fra forrige tråd:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ (x+\Delta x)^i - x^i}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( e^{\ln (x + \Delta x) i} - e^{\ln (x) i} \right)$$

Vi bruker nå Euler's formel for eksponentialfunksjonen, samt ganger med tallet 1, skrevet som en lur brøk:

$$ \ldots = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \cos( \ln (x + \Delta x) ) + i \sin ( \ln (x + \Delta x)) - \cos ( \ln x ) - i \sin ( \ln x) \right) $$

$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \cos( \ln (x + \Delta x) ) - \cos ( \ln x )+ i \sin ( \ln (x + \Delta x)) - i \sin ( \ln x) \right) $$

$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \frac{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)}{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)} \left( \cos( \ln (x + \Delta x) ) - \cos ( \ln x )+ i \sin ( \ln (x + \Delta x)) - i \sin ( \ln x) \right) $$

$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)}{\Delta x} \left( \frac{ \cos( \ln (x + \Delta x) ) - \cos ( \ln x )+ i \sin ( \ln (x + \Delta x)) - i \sin ( \ln x)}{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)} \right)$$

$$ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)}{\Delta x} \left( \frac{ \cos( \ln (x + \Delta x) ) - \cos ( \ln x )}{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)} + i \frac{\sin ( \ln (x + \Delta x)) - i \sin ( \ln x)}{ \ln (x + \Delta x) - \ln (x)} \right) $$

Når vi nå beregner grenseverdien, gjenkjenner vi den første faktoren som den deriverte av $\ln$ i punktet $x$, altså $1/x$. Og første ledd inni parentesen som den deriverte av $\cos$ i punktet $\ln x$ og siste ledd som den deriverte av $\sin$ i punktet $\ln x$. Altså:

$$ = \frac 1x \left( - \sin (\ln x) + i \cos(\ln x) \right) $$

Vi vil nå bruke Eulers Formel igjen, for å kvitte oss med sin- og cos-funksjonene. Altså:

$$ = \frac 1x \frac{-i}{-i} \left( - \sin (\ln x) + i \cos( \ln x) \right)$$

$$ = \frac 1x \frac{1}{-i} \left( i \sin( \ln x) + \cos (\ln x) \right) $$

$$ = x^{-1} \frac{1}{-i} e^{\ln(x) i} = x^{-1} \frac{1}{-i} x^i = \frac{1}{-i} x^{i-1} = i x^{i-1} $$

Siste likhet kommer av at $\frac{1}{-i} = i$.

Altså ser vi at den deriverte av $x^i$ blir som forventet $i x^{i-1}$.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1452
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Derivasjon av komplekse funksjoner

Innlegg Nebuchadnezzar » 12/11-2019 21:59

Bare for å legge til litt mer info (btw boken visual complex analysis kan og anbefales om man vil ha en alternativ fremstilling av kompleks analyse).

Som emilga sier så er $(x^i)' = i x^{i-1}$ men hva betyr dette? I korte trekk så lar vi $z = x + iy$ være ett tall i det komplekse planet. En liten utregning viser at $iz = i (x + iy) = ix - y$ som kan tegnes slik

Bilde

Her ser vi at å gange ett tall med $i$ er det samme som en rotasjon i det komplekse planet på 90 grader

Jeg overlater det som en artig øvelse til leser å vise at vinkelrotasjonen er på nøyaktig 90 grader.

Dette er utrolig viktig og legger egentlig byggesteinen for all kompleks analyse. I korte trekk så gir dette en av de viktigste forskjellene mellom $\mathbb{R}^2$ og $\mathbb{C}$. I $\mathbb{R}^2$ er jo $x$ og $y$ koordinatene separate. Mens i kompleks analyse er det ikke mulig å skille disse på samme måte, det er en iboende relasjon mellom x og y koordinatene i det komplekse planet. Og det er nettopp det som skaper mange av de svært interessante teoremene en møter senere ;-)

Her står det litt mer om man er interessert https://math.stackexchange.com/question ... t-independ
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5540
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Derivasjon av komplekse funksjoner

Innlegg Frævik » 13/11-2019 21:06

Tusen takk for hjelpen! Har jo egentlig akkurat begynt på bevisføring o.l., så er ennå i innlæringsfasen når det gjelder "smarte omskrivninger" osv. (går som sagt før R1). Jeg ser riktignok nå at jeg har oversett et par smarte "triks", men bare denne tråden var faktisk utrolig lærerik. Takk igjen!
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 27
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Derivasjon av komplekse funksjoner

Innlegg Gustav » 16/11-2019 10:14

Et lite tips: for å unngå misforståelse, bruk z som variabel når du driver med komplekse funksjoner, altså $f(z)=z^i$. x brukes som regel om den reelle delen av den komplekse variabelen, z=x+iy.

(det er vesensforskjell mellom funksjonene $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{C}$ gitt ved $f(x)=x^i$, og $f:\mathbb{C}\mapsto \mathbb{C}$ gitt ved $f(z)=z^i$)
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 26 gjester