Analysens fundamentalteorem

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
wikdahl
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 06/11-2019 15:46

Hvordan deriverer jeg integralet av ln(1+t^2)dt fra x^2 til 7x?
wikdahl
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 06/11-2019 15:46

Får ln((49x^2-1)/(x^4+1)) men mistenker at dette er feil.
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 5648
Registrert: 24/05-2009 14:16
Sted: NTNU

Tanken her er jo at en kombinerer analysens fundamentalsetning

$\hspace{1cm}
\int_a^b f(t) \,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)
$

(hvor $F$ er en antiderivert av $f(x)$) med kjerneregelen

$\hspace{1cm}
\bigl[f(g(x))\bigr] = g'(x) f'(g(x))
$

Gjør vi dette så får vi

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^{g(x)} f(t) \,\mathrm{d}t = g'(x) \cdot F'(g(x)) - (0)' \cdot F'(0) = g'(x) \cdot f(g(x))
$

Ser du hvordan du kan anvende formelen ovenfor på din oppgaven? Hint, det er noen forskjeller du må ta hensyn til.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
wikdahl
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 06/11-2019 15:46

vil g(x) i dette tilfellet være 7x?
josi

Ja, men legg merke til at nedre integrasjonsgrense i oppgaven ikke er null.
wikdahl
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 06/11-2019 15:46

vil det bli 7ln(1+(7x)^2)-(2xln(1+x^4) ?
Svar