Inverse funksjoner

[Bananatar]

Funksjonen f har en invers funksjon dersom den er entydig bestemt, dette betyr at den deriverte av f må være <0 eller >0 for alle x.
Hvis f'(x)=0 i et punkt, vil f fortsatt ha en entydig invers funksjon? Hva hvis det finnes flere punkter der den deriverte er lik 0

[Kristian Saug]

Trukket!

[DennisChristensen]

Hei,

Hver verdi av f(x) må være unik for enhver verdi av x. Dvs den deriverte av f må være </= 0 eller >/= 0 for alle x.
Dersom dette er oppfylt, vil f'(x) = 0 representere terassepunkt og ikke toppunkt/bunnpunkt.
Dermed vil funksjonen f fortsatt ha en invers funksjon.

Dette er feil. Funksjonen $f(x) = 0$ tilfredsstiller kravet $f'(x) \geq 0$ for alle $x$, men er definitivt ikke invertibel. Vi kan omformulere kravet slik for å gjøre det korrekt:

En deriverbar funksjon $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ er invertibel hvis og bare hvis følgende holder:

• (a) det ikke finnes noe ikke-tomt åpent interval $I$ slik at $f'(x) = 0$ for alle $x\in I$;
  (b) $f'(x) \geq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$ eller $f'(x) \leq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$.

Merk at (a) kan også formuleres som at mengden $\{x\in\mathbb{R}\mid f'(x) = 0\}$ er diskret.

[Aleks855]

Hei,

Hver verdi av f(x) må være unik for enhver verdi av x. Dvs den deriverte av f må være </= 0 eller >/= 0 for alle x.
Dersom dette er oppfylt, vil f'(x) = 0 representere terassepunkt og ikke toppunkt/bunnpunkt.
Dermed vil funksjonen f fortsatt ha en invers funksjon.

Dette er feil. Funksjonen $f(x) = 0$ tilfredsstiller kravet $f'(x) \geq 0$ for alle $x$, men er definitivt ikke invertibel. Vi kan omformulere kravet slik for å gjøre det korrekt:

En deriverbar funksjon $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ er invertibel hvis og bare hvis følgende holder:

• (a) det ikke finnes noe ikke-tomt åpent interval $I$ slik at $f'(x) = 0$ for alle $x\in I$;
  (b) $f'(x) \geq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$ eller $f'(x) \leq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$.

Merk at (a) kan også formuleres som at mengden $\{x\in\mathbb{R}\mid f'(x) = 0\}$ er diskret.

Bare for å se om jeg har forstått det rett selv: Alt dette, sagt på over-forenklet måte, er bare at funksjonen ikke kan være invertibel dersom det finnes et ikke-tomt åpent intervall der funksjonen er horisontal i hele intervallet? Fordi hvis det fantes, så ville det inverse bildet inneholdt et ikke-tomt vertikalt intervall, som ville brutt med definisjonen av en funksjon?

[Gustav]

Hei,

Hver verdi av f(x) må være unik for enhver verdi av x. Dvs den deriverte av f må være </= 0 eller >/= 0 for alle x.
Dersom dette er oppfylt, vil f'(x) = 0 representere terassepunkt og ikke toppunkt/bunnpunkt.
Dermed vil funksjonen f fortsatt ha en invers funksjon.

Et moteksempel er funksjonen f(x) definert ved $x^3$ for $x\le 0$, identisk lik $0$ på intervallet $(0,1)$, og $(x-1)^3$ for $x\ge 1$, som er deriverbar med $f'(x)\ge 0$ overalt, men som ikke er injektiv og dermed ikke inverterbar.

[DennisChristensen]

Hei,

Hver verdi av f(x) må være unik for enhver verdi av x. Dvs den deriverte av f må være </= 0 eller >/= 0 for alle x.
Dersom dette er oppfylt, vil f'(x) = 0 representere terassepunkt og ikke toppunkt/bunnpunkt.
Dermed vil funksjonen f fortsatt ha en invers funksjon.

Dette er feil. Funksjonen $f(x) = 0$ tilfredsstiller kravet $f'(x) \geq 0$ for alle $x$, men er definitivt ikke invertibel. Vi kan omformulere kravet slik for å gjøre det korrekt:

En deriverbar funksjon $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ er invertibel hvis og bare hvis følgende holder:

• (a) det ikke finnes noe ikke-tomt åpent interval $I$ slik at $f'(x) = 0$ for alle $x\in I$;
  (b) $f'(x) \geq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$ eller $f'(x) \leq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$.

Merk at (a) kan også formuleres som at mengden $\{x\in\mathbb{R}\mid f'(x) = 0\}$ er diskret.

Bare for å se om jeg har forstått det rett selv: Alt dette, sagt på over-forenklet måte, er bare at funksjonen ikke kan være invertibel dersom det finnes et ikke-tomt åpent intervall der funksjonen er horisontal i hele intervallet? Fordi hvis det fantes, så ville det inverse bildet inneholdt et ikke-tomt vertikalt intervall, som ville brutt med definisjonen av en funksjon?

Dette er en korrekt geometrisk intuisjon, ja.