Inhomogen diff.likn. tips

[Gjest]

Jeg har følgende diff.likning:
y'' + y' -2y = 10e[sup]t[/sup]*sint.
Hva jeg skal "tippe" som partikulær-løsning når jeg både har e[sup]t[/sup] og sint?

[Solar Plexsus]

Du har en partikulær løsning av formen

y = Ae[sup]t[/sup] sint + Be[sup]t[/sup] cost

der A og B er konstanter.

[Gjest]

Akkurat, men jeg får ikke til å løse den jeg, har fått til de andre, hvor det enten er bare e^t eller sint.

[Heisenberg]

Hei,-

Det er litt grisete det der, men det er i prinsippet bare å derivere partikulærløsningen til Solar og sette inn. Deretter må du samle opp koeff.
foran ledd med e^tsin t og e^t cost. (e^t kan forkortes, den finnes i alle ledd på begge sider av likhetstegnet).

Koeff. foran e^tsin t settes lik 10, mens koeff. foran e^t cos t settes lik null.

Hvor er det du blir sittende fast da?

[Gjest]

Her:
2Ae[sup]t[/sup]cost - 2Be[sup]t[/sup]sint - Ae[sup]t[/sup]sint - Ae[sup]t[/sup]cost - Be[sup]t[/sup]cost + Be[sup]t[/sup]sint - 2Ae[sup]t[/sup]sint - 2Be[sup]t[/sup]cost = 10e[sup]t[/sup]*sint

[Heisenberg]

Altsaa har du:

-2B-A+B-2A=10
-2B-A-B+2B=0

-B-3A=10
-A-B=0

Tja, jeg finner A=-5 mens B=5?

[Solar Plexsus]

y = Ae[sup]t[/sup] sint + Be[sup]t[/sup] cost,

y' = (A - B)e[sup]t[/sup] sint + (A + B)e[sup]t[/sup] cost,

y'' = -2Be[sup]t[/sup] sint + 2Ae[sup]t[/sup] cost.

Dette gir

10e[sup]t[/sup] sint
= y'' + y' - 2y
= [-2Be[sup]t[/sup] sint + 2Ae[sup]t[/sup] cost] + [(A - B)e[sup]t[/sup] sint + (A + B)e[sup]t[/sup] cost] - [2Ae[sup]t[/sup] sint + 2Be[sup]t[/sup] cost]
= (-A - 3B)e[sup]t[/sup] sint + (3A - B)e[sup]t[/sup] cost.

M.a.o. må

-A - 3B = 10,
3A - B = 0.

Dette likningssystemet har løsningen A=-1 og B=-3. Dermed blir partikulærløsningen

y = -e[sup]t[/sup] sint - 3e[sup]t[/sup] cost.

[Gjest]

Har fasiten feil når den sier -1 og 3?

[Goethe]

Jeg finner ved derivasjon føgende;

sint(-A-3B)+cost(3A-B)=10sint som gir likningsystemet;

-A-3B=10
3A-B=0
A=-1 og B=-3

Slik at totalløsningen blir;

y=C[sub]1[/sub]e[sup]-2t[/sup]+C[sub]2[/sub]e[sup]t[/sup]-e[sup]t[/sup]sint
-3e[sup]t[/sup]cost

[Gjest]

Det er riktig bortsett fra at cos-leddet skal være positivt.

[Goethe]

Svaret mitt er nok riktig.

Dette kan du enkelt sjekke selv ved å sette den totale løsningen inn i den opprinnelige ligningen.

[Solar Plexsus]

Nå har jeg rettet opp feilene i mitt tidligere innlegg. Løsningen blir A=-1 og B=-3. Så fasitsvaret har feil fortegn på B (som signaturen "Goethe" også påpeker). For å være 100 % sikker på at dette er den korrekte løsningen, har jeg også anvendt Mathematica og funksjonen DSolve for å finne løsningen av denne differensiallikningen. Og Mathematica kommer frem til samme svar som Goethe og undertegnede.

[Gjest]

Flott, da er det altså feil i fasiten i Adams' Calculus: A Complete Course.
Takk for hjelpen.