Eulers formel

[193]

Kunne noen forklare og bevise hvorfor e^(pi(i)) = -1?
Jeg er bare på 1MXY-nivå, så jeg må nok ha dette litt inn med teskje. Jeg kjenner imidlertid til e, imaginære tall og fakultet.

[Magnus]

Ganske imponerende at du driver med dette på GK, men kanskje smartere å lære seg 2mx og 3mx-pensum isteden? Det gjorde jeg

Uansett

Eulers formel sier at:
e^ix = cos(x) + i*sin(x)
vi setter inn for x

e^(pi*i) = cos(pi) + i*sin(pi)

Her operer vi med radier. pi = 180 grader. Finner verdiene av de trigonometriske funksjonene

cos(pi) = cos(180) = -1
sin(pi) = 0

Dermed følger det at

e^(pi*i) = cos(pi) = -1

[ingentingg]

e^ix = cos(x) + i*sin(x)

Får du ved å taylorutvikle cos(x), sin(x) og e^ix.
Les link under for mer informasjon ang taylorserier.
Der står seriene for cos, sin og e. Se formel 4, 5 og 7

http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

[193]

Jeg tror jeg begynner å forstå dette nå. Hvorledes kan jeg bruke formelen til å finne i^i?

Jeg går egentlig i niende klasse, men jeg har begynt på 1MXY-pensum for å lære mer.

[ingentingg]

Jeg vil anbefale deg å spørre læreren om informasjon om Abelkonkurransen. Dette er en matematikkonkuranse for elever i videregående, men elever fra ungdomsskolen kan og delta.

Siden 9 klassepensum åpenbart ikkje gir nok utfordringer vil eg anbefale deg å prøve å løse en del av oppgavene fra tidligere abelkonkurranser. Spør læreren om du kan gjøre de i timen, når du kan det vanlige pensum.

Se link nedenfor:

http://abelkonkurransen.no/

Ang spm ditt:

i^i = e^(-[pi][/pi]/2)

Dette finner man ved å bruke log funksjonen.

i^i = e^(i*log(i))

log(i) = i[pi][/pi]/2

Hvorfor det er slik kan du sjekke ut her:

http://mathworld.wolfram.com/ExponentLaws.html

[Magnus]

Ganske stort sprang å gå fra 9.klasse til calculus da.
Skal vedde sjela mi på at du ikke kan ALT fra VGS=)

Lær deg det først. Det vil gi deg best utbytte.

[193]

Det var følgende artikkel som gjorde meg nysgjerrig:
http://www.matematikk.org/pub/mattetekst/Tallet_i/

Løsningen på ligningen
x + y= 10
x · y =40
, som er x = 5 + √(−15) og y = 5 − √(−15), eller omvendt, fascinerte meg. I begynnelsen forstod jeg ikke hvorfor det var slik, men da jeg forstod det og løste ligningen som en vanlig annengradsligning, tenkte jeg at det kunne være interessant å studere Eulers formel.

Og nei; jeg kan ikke pensum for hele VGS, bare 1MXY og litt teori om fakultet, primtall, imaginære tall, e etc.

[Magnus]

Lær deg om derivasjon og integrasjon da vel =)?

[193]

I min 1MXY-lærebok (Sinus) står det bare hvorledes man regner ut integraler på kalkulatoren, men ikke for hånd (altså hvilken formel/algoritme kalkulatoren bruker). Om derivasjon står det bare at det var Newton som utviklet teorien, men ikke hva derivasjon faktisk er.

[Gjest]

Få tak i 2mx og 3mx bøker også. Jeg leste også 2mx og 3mx på egenhånd, det skulle ikke by på så store problemer for deg tror jeg. Imaginære tall er faktisk ikke pensum på videregående i det hele tatt, men det er ganske spennende da...

[ingentingg]

Grunnen til at imaginære tall ikkje er pensum før på universitet, og ikkje i noen særlig grad før man kommer ganske langt, er at selv om det ikkje er spesielt vanskelig å skjønne de enkle reglene for addisjon, multiplikasjon osv, så kreves det ganske mykje annen kunnskap før det får særlig nytte.

Det "enkleste" man kan bruke det til er jo å løyse 2.gradslikninger. Dette fører igjen til 2.ordens difflikninger. (svingeløsninger).

Får å bruke det i analyse o.l, trenger man veldig mykje annen kunnskap først.