matematikk.net

Leser en bok om gruppeteori, som definerer sentrum som følger:

The center of a group $G$, $Z(G)$ is the set of all $g \in G$ such that $gh = hg$ for all $h \in G$.
It's not hard to see that the center of any group $G$ is a subgroup of $G$.

Jeg tar ikke noe som en selvfølge, så jeg prøver å argumentere for at det er en undergruppe selv om det "ikke er vanskelig å se".

Siden $Z(G)$ arver operasjonen fra $G$, så bevares assosiativitet.
Identitetselementet $e$ arves også, fordi det oppfyller $eh = he$, altså spesialtilfellet $g = e$ fra definisjonen.
Alle $g^{-1}$ arves fordi de oppfyller $gh = hg$, altså spesialtilfellet $h = g^{-1}$ fra definisjonen.

Men ut fra definisjonen ser jeg ikke umiddelbart at den medfører lukkethet.

Noen som har et hint?

Sentrum i en gruppe G består altså av de elementer i G som kommuterer med alle elementer i G.

For å vise at Z(G) er lukket under multiplikasjon må du vise at hvis $g,g'\in Z(G)$, så er $(gg')h=h(gg')$ for alle $h\in G$. Bruk assosiativitet til å flytte $h$ mot venstre i to steg.

Litt usikker på om jeg forstår argumentet for at $g^{-1}\in Z(G)$ for $g\in Z(G)$. Du må vise at $g^{-1}h=h g^{-1}$ for enhver $h\in G$ (så vi kan altså ikke velge noen spesifikk verdi for $h$).
For å vise dette, kan vi bruke at i enhver gruppe gjelder $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. Da har vi nemlig
\[
g^{-1}h=(h^{-1}g)^{-1}=(gh^{-1})^{-1}=hg^{-1},
\]
der vi i andre likhet brukte at $g\in Z(G)$.

Takk for input!

Det jeg mente med argumentet var at hvis vi vet at alle elementer som kommuterer med $g$ er med i $Z(G)$, så må $g^{-1}$ være med fordi det kommuterer med $g$.

Når jeg skriver det ned ser det ut som jeg har antatt at "alle elementer som kommuterer med $g$ er med i $Z(G)$". Har jeg misforstått definisjonen? Det er kanskje ikke slik at $g^{-1}$ er med, med mindre det også kommuterer med alle andre elementer i $G$?

Aleks855 skrev: Når jeg skriver det ned ser det ut som jeg har antatt at "alle elementer som kommuterer med $g$ er med i $Z(G)$". Har jeg misforstått definisjonen?

Høres ut som du hadde misforstått definisjonen ja. Det er ikke nødvendigvis slik at et element som kommuterer med et gitt element g i Z(G) er med i Z(G) (i så fall ville jo Z(G)=G for alle grupper). Definisjonen av senter er delmengden i G som består av elementene som kommuterer med alle elementer i G.